现代信号处理课堂笔记整理

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1、现代信号处理课堂笔记整理第1章离散时间信号处理基础1.2离散时间系统离散时间系统的分类：线性系统：时不变系统：输入延时，与之对应的输出也简单延时因果系统：某时刻的输出只取决于该时刻以及此时刻以前的输入稳定系统：某时刻的输出只取决于该时刻以及此时刻以前的输入离散LTI系统的响应：用单位脉冲响应判定离散LTI系统的稳定性:用单位脉冲响应判定离散LTI系统的因果性：1.3傅里叶变换离散时间傅里叶变换（DTFT）：实部与虚部：幅度谱和相位谱：离散时间傅立叶逆变换（IDTFT）：傅里叶频谱为当

2、a

3、≥1时,求和不收敛,该序列的DTFT不存在；当｜ａ｜＜１时，由等比级数的求和公式得

4、：当a是实数时，由上式可得序列x(n)的幅度谱和相位谱分别为：傅里叶变换得：频率响应：若系统响应则反变换得差分方程：离散傅里叶变换（DFT）设信号下x(n)为长度是N的有限长序列，在频域的主值区间均匀采样M个点：令N=M,得离散傅立叶变换（DFT）：离散傅立叶反变换（IDFT）：DFT运算量：N2次复数乘，N(N-1)次复数加。快速傅里叶变换（FFT）：N/2)log2N次复数乘，(N/2)log2N次复数加1.4z变换序列x(n)的双边z变换定义为：对任意给定的序列，使变换收敛的z值的集合称为收敛区域，简称为ROC。ROC一般为一个环形区域：。例1.4.1，求序列的（

5、双边）z变换：（1）（2）逆z变换用围线积分给出的逆z变换定义式为：例1.4.2给定X(z)用部分分式法求x(n)：(1)单位脉冲序列：(2)单位阶跃序列：(3)矩形序列：(4)实指数序列：其中a为不等于0的任意实数(5)正弦序列：(6)复指数序列：1.5数字滤波器LTI系统：时域卷积：y(n)=h(n)*x(n)z域相乘：Y(z)=H(z)X(z)系统函数：（1）当p=0时，H（z）为z的多项式，与之对应的是单位脉冲相应为有限长序列，称这样的系统为有限冲级响应（FIR）系统；当p≥1时，式子（1）中分母为多项式，H（z）为有理分式，无限冲击响应（IIR）。系统函数的零

6、极点该式子说明数字滤波器的特性取决于零极点的位置。例如，离散时间系统具有BIBO稳定性的充要条件是所有极点位于单位园内，而系统的逆系统也稳定的充要条件是所有零点位于单位圆内，称因果并且零极点都位于单位圆的系统为最小相位系统。频率响应：(频率响应取决于零极点的位置)2阶数字滤波器的差分方程、零极点、频率响应1.5.3格型滤波器全零点滤波器的格型结构：前向输出fp(n)的系统函数后向输出bp(n)的系统函数全零点滤波器的格型结构：给定反射系数求直接型系数给定直接型系数求反射系数全极点滤波器从fp(n)=x(n)到b0(n)=y(n)的传递函数从b0(n)=y(n)到bp(n

7、)的传递函数fp(n)=x(n)作为输入、bp(n)作为输出时2.某离散时间因果LTI系统，当输入时，输出（1）确定系统的函数H(Z)（2）求系统单位序列相应h（n）（3）计算系统的频率特性H（ejθ）（4）写出系统的差分方程解：（1）

8、Z

9、>(2)

10、Z

11、>（3）因为H（z）收敛域为

12、Z

13、>，包含单位圆所以H（ejθ）存在（4）==>第1章随机信号分析基础2.1.1概率分布函数与密度函数概率分布函数(cdf)：概率密度函数(pdf)：几个重要的性质：2.1.2随机变量的数字特征数学期望线性特征：随机变量的函数的数学期望：m阶矩：一阶矩：二阶矩：m阶中心矩：方差：标准偏差

14、：分散程度的度量2.2随机过程随机过程{x(ζ,n)}的四种释义：1、若n=n0为固定值，ζ为变量，则x(ζ,n0)}为一个随机变量。2、若ζ=ζ0为固定值，n为变量，则x(ζ0,n)}为一个样本序列。3、若ζ=ζ0，n=n0均为固定值，则x(ζ0,n0)}为一个数。4、若ζ和n都是变量，则x(ζ,n)}是一个随机过程。2.2.1随机过程的基本统计量均值(1阶矩)：自相关(2阶矩)：自协方差函数(2阶中心矩)：严平稳(SSS)随机过程：宽平稳(WSS)随机过程：宽平稳随机过程的自相关函数定义：性质：1.原点的值最大：。2.共轭对称性：。3.半正定性：两个不同的随机过程的

15、互相关：对于平稳信号，其功率谱密度为自相关序列的DTFT：傅立叶变换-2.2.2独立、不相关与正交独立的随机过程：独立同分布(IID)过程：对于全部的k都有相同的概率密度函数。不相关的随机过程正交的随机过程：若x(n)为平稳的零均值不相关过程，则该过程为正交过程。联合随机过程的独立、不相关与正交：1、统计独立：2、不相关：3、正交：2.3几种典型的随机过程复正弦加噪声α是常数，v(n)是高斯白噪声；复正弦的初始相位在[0，2π]中均匀分布的随机变量。实高斯过程（实正态过程）：其中x为信号矢量宽平稳的过程必然也是严平稳的；若两个时刻信号的取