初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)(1)

初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)(1)

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1、专项突破(7)第一讲有理数一、有理数的概念及分类二、有理数的计算:1、善于观察数字特征;2、灵活运用运算法则;3、掌握常用运算技巧(凑整法、分拆法等)。三、例题示范1、数轴与大小例1、已知数轴上有A、B两点,A、B之间的距离为1,点A与原点O的距离为3,那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少?满足条件的点B有多少个?例2、将这四个数按由小到大的顺序,用“<”连结起来。提示1:四个数都加上1不改变大小顺序;提示2:先考虑其相反数的大小顺序;提示3:考虑其倒数的大小顺序。例3、观察图中的数轴,用字母a、b、c

2、依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个数的大小关系。分析:由点B在A右边,知b-a>0,而A、B都在原点左边,故ab>0,又c>1>0,故要比较的大小关系,只要比较分母的大小关系。-48-例1、在有理数a与b(b>a)之间找出无数个有理数。提示:P=(n为大于是的自然数)注:P的表示方法不是唯一的。1、符号和括号在代数运算中,添上(或去掉)括号可以改变运算的次序,从而使复杂的问题变得简单。例2、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算,所得可能的最小非负数是多少?提示:造零:n-(n+1)-

3、(n+2)+(n+3)=0注:造零的基本技巧:两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧例3、计算-1-2-3-…-2000-2001-2002提示:1、逆序相加法。2、求和公式:S=(首项+末项)´项数¸2。例4、计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-2000+2001+2002提示:仿例5,造零。结论:2003。-48-例1、计算提示1:凑整法,并运用技巧:199…9=10n+99…9,99…9=10n-1。例2、计算提示:字母代数,整体化:令,则例3、计算(1);(2)提示:裂项相消。常用裂项关系式:(

4、1);(2);(3);(4)-48-。例11计算(n为自然数)例12计算1+2+22+23+…+22000提示:1、裂项相消:2n=2n+1-2n;2、错项相减:令S=1+2+22+23+…+22000,则S=2S-S=22001-1。例13、比较与2的大小。提示:错项相减:计算。-48-专项突破(8)第二讲绝对值一、知识要点1、绝对值的代数意义;2、绝对值的几何意义:(1)

5、a

6、、(2)

7、a-b

8、;3、绝对值的性质:(1)

9、-a

10、=

11、a

12、,

13、a

14、³0,

15、a

16、³a;(2)

17、a

18、2=

19、a2

20、=a2;(3)

21、ab

22、

23、=

24、a

25、

26、b

27、;(4)(b¹0);4、绝对值方程:(1)最简单的绝对值方程

28、x

29、=a的解:(2)解题方法:换元法,分类讨论法。二、绝对值问题解题关键:(1)去掉绝对值符号;(2)运用性质;(3)分类讨论。三、例题示范例1已知a<0,化简

30、2a-

31、a

32、

33、。提示:多重绝对值符号的处理,从内向外逐步化简。例2已知

34、a

35、=5,

36、b

37、=3,且

38、a-b

39、=b-a,则a+b=,满足条件的a有几个?-48-例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图,化简:

40、b+c

41、-

42、b-a

43、-

44、a-c

45、-

46、c-b

47、+

48、b

49、+

50、-2a

51、。例4已知

52、a、b、c是有理数,且a+b+c=0,abc>0,求的值。注:对于轮换对称式,可通过假设使问题简化。例5已知:例6已知,化简:m=

53、x+1

54、-

55、x+2

56、+

57、x+3

58、-

59、x+4

60、。例7已知

61、x+5

62、+

63、x-2

64、=7,求x的取值范围。提示:1、根轴法;2、几何法。-48-例8是否存在数x,使

65、x+3

66、-

67、x-2

68、>7。提示:1、根轴法;2、几何法。例9m为有理数,求

69、m-2

70、+

71、m-4

72、+

73、m-6

74、+

75、m-8

76、的最小值。提示:结合几何图形,就m所处的四种位置讨论。结论:最小值为8。例10(北京市1989年高一数学竞

77、赛题)设x是实数,且f(x)=

78、x+1

79、+

80、x+2

81、+

82、x+3

83、+

84、x+4

85、+

86、x+5

87、.则f(x)的最小值等于___6_______.例11(1986年扬州初一竞赛题)设T=

88、x-p

89、+

90、x-15

91、+

92、x-p-15

93、,其中0<p<15.对于满足p≤x≤15的x的来说,T的最小值是多少?解由已知条件可得:T=(x-p)+(15-x)+(p+15-x)=30-x.∵当p≤x≤15时,上式中在x取最大值时T最小;当x=15时,T=30-15=15,故T的最小值是15.-48-例12  若两数绝对值之和等于绝对值之积

94、,且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证 设两数为a、b,则

95、a

96、+

97、b

98、=

99、a

100、

101、b

102、.∴

103、b

104、=

105、a

106、

107、b

108、-

109、a

110、=

111、a

112、(

113、b

114、-1).∵ab≠0,∴

115、a

116、>0,

117、b

118、>0.∴

119、b

120、-1=>0,∴

121、b

122、>1.同理可证

123、a

124、>1.∴a、b都不在-1与1之间.例13某城镇沿环形路有五所小学,依次为一小、二小、三小、四小、五小,它们分别有电脑15、7、11、3、14台

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