【5A版】初中数学竞赛辅导讲座19讲(全套)

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1、【MeiWei_81-优质适用文档】第一讲有理数一、有理数的概念及分类。二、有理数的计算：1、善于观察数字特征；2、灵活运用运算法则；3、掌握常用运算技巧（凑整法、分拆法等）。三、例题示范1、数轴与大小例1、已知数轴上有A、B两点，A、B之间的距离为1，点A与原点O的距离为3，那么满足条件的点B与原点O的距离之和等于多少？满足条件的点B有多少个？例2、将这四个数按由小到大的顺序，用“<”连结起来。提示1：四个数都加上1不改变大小顺序；提示2：先考虑其相反数的大小顺序；提示3：考虑其倒数的大小顺序。例3、观察图中的数轴，用字母a、b、c依次表示点A、B、C对应的数。试确定三个数的大小关系。

2、分析：由点B在A右边，知b-a>0，而A、B都在原点左边，故ab>0,又c>1>0,故要比较的大小关系，只要比较分母的大小关系。例4、在有理数a与b(b>a)之间找出无数个有理数。提示：P=（n为大于是的自然数）注：P的表示方法不是唯一的。2、符号和括号在代数运算中，添上（或去掉）括号可以改变运算的次序，从而使复杂的问题变得简单。例5、在数1、2、3、…、1990前添上“+”和“—”并依次运算，所得可能的最小非负数是多少？提示：造零：n-(n+1)-(n+2)+(n+3)=0注：造零的基本技巧：两个相反数的代数和为零。3、算对与算巧例6、计算-1-2-3-…-20KK-20KK-20KK

3、提示：1、逆序相加法。2、求和公式：S=(首项+末项)´项数¸2。例7、计算1+2-3-4+5+6-7-8+9+…-20KK+20KK+20KK提示：仿例5，造零。结论：20KK。【MeiWei_81-优质适用文档】【MeiWei_81-优质适用文档】例1、计算提示1：凑整法，并运用技巧：199…9=10n+99…9，99…9=10n-1。例2、计算提示：字母代数，整体化：令，则例3、计算（1）；（2）提示：裂项相消。常用裂项关系式：（1）；（2）；（3）；（4）。例11计算（n为自然数）例12、计算1+2+22+23+…+220KK提示：1、裂项相消：2n=2n+1-2n；2、错项相减

4、：令S=1+2+22+23+…+220KK，则S=2S-S=220KK-1。例13、比较与2的大小。提示：错项相减：计算。第二讲绝对值一、知识要点1、绝对值的代数意义；2、绝对值的几何意义：（1）

5、a

6、、（2）

7、a-b

8、；3、绝对值的性质：（1）

9、-a

10、=

11、a

12、,

13、a

14、³0,

15、a

16、³a；（2）

17、a

18、2=

19、a2

20、=a2；（3）

21、ab

22、=

23、a

24、

25、b

26、；（4）（b¹0）；4、绝对值方程：（1）最简单的绝对值方程

27、x

28、=a的解：（2）解题方法：换元法，分类讨论法。二、绝对值问题解题关键：【MeiWei_81-优质适用文档】【MeiWei_81-优质适用文档】（1）去掉绝对值符号；（2）运用性质；

29、（3）分类讨论。三、例题示范例1已知a<0，化简

30、2a-

31、a

32、

33、。提示：多重绝对值符号的处理，从内向外逐步化简。例2已知

34、a

35、=5，

36、b

37、=3，且

38、a-b

39、=b-a，则a+b=，满足条件的a有几个？例3已知a、b、c在数轴上表示的数如图，化简：

40、b+c

41、-

42、b-a

43、-

44、a-c

45、-

46、c-b

47、+

48、b

49、+

50、-2a

51、。例4已知a、b、c是有理数，且a+b+c=0，abc>0，求的值。注：对于轮换对称式，可通过假设使问题简化。例5已知：例6已知，化简：m=

52、x+1

53、-

54、x+2

55、+

56、x+3

57、-

58、x+4

59、。例7已知

60、x+5

61、+

62、x-2

63、=7，求x的取值范围。提示：1、根轴法；2、几何法。例8是否存在数

64、x,使

65、x+3

66、-

67、x-2

68、>7。提示：1、根轴法；2、几何法。例9m为有理数，求

69、m-2

70、+

71、m-4

72、+

73、m-6

74、+

75、m-8

76、的最小值。提示：结合几何图形，就m所处的四种位置讨论。结论：最小值为8。例10（北京市1989年高一数学竞赛题）设x是实数，且f（x）=

77、x+1

78、+

79、x+2

80、+

81、x+3

82、+

83、x+4

84、+

85、x+5

86、.则f（x）的最小值等于___6_______.例11（1986年扬州初一竞赛题）设T=

87、x-p

88、+

89、x-15

90、+

91、x-p-15

92、，其中0＜p＜15.对于满足p≤x≤15的x的来说，T的最小值是多少？解由已知条件可得：T=（x-p）+（15-x）+（p+15-x）=30-

93、x.∵当p≤x≤15时，上式中在x取最大值时T最小；当x=15时，T=30-15=15，故T的最小值是15.例12若两数绝对值之和等于绝对值之积，且这两数都不等于0.试证这两个数都不在-1与-之间.证设两数为a、b，则

94、a

95、+

96、b

97、=

98、a

99、

100、b

101、.∴

102、b

103、=

104、a

105、

106、b

107、-

108、a

109、=

110、a

111、（

112、b

113、-1）.∵ab≠0，∴

114、a

115、＞0，

116、b

117、＞0.∴

118、b

119、-1=＞0，∴

120、b

121、＞1.同理可证

122、a

123、＞1.∴a、b都不在-1与1之间.例13某城镇沿