初一数学竞赛辅导(第19讲)

初一数学竞赛辅导(第19讲)

ID:35129786

大小:112.50 KB

页数:8页

时间:2019-03-19

初一数学竞赛辅导(第19讲)_第1页
初一数学竞赛辅导(第19讲)_第2页
初一数学竞赛辅导(第19讲)_第3页
初一数学竞赛辅导(第19讲)_第4页
初一数学竞赛辅导(第19讲)_第5页
资源描述:

《初一数学竞赛辅导(第19讲)》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在应用文档-天天文库

1、第十九讲*几何图形的计数问题  在几何中,有许多有趣的计数问题,如计算线段的条数,满足某种条件的三角形的个数,若干个图分平面所成的区域数等等.这类问题看起来似乎没有什么规律可循,但是通过认真分析,还是可以找到一些处理方法的.常用的方法有枚举法、加法原理和乘法原理法以及递推法等.  例1如图1-65所示,数一数图中有多少条不同的线段?  解对于两条线段,只要有一个端点不同,就是不同的线段,我们以左端点为标准,将线段分5类分别计数:  (1)以A为左端点的线段有AB,AC,AD,AE,AF共5条;  (

2、2)以B为左端点的线段有BC,BD,BE,BF共4条;  (3)以C为左端点的线段有CD,CE,CF共3条;  (4)以D为左端点的线段有DE,DF共2条;  (5)以E为左端点的线段只有EF一条.  所以,不同的线段一共有5+4+3+2+1=15(条).  一般地,如果一条线段上有n+1个点(包括两个端点),那么这n+1个点把这条线段一共分成的线段总数为n+(n-1)+…+2+1=n(n+1)/2  例2图1-66中有多少个三角形?  解以OA为一边的三角形有△OAB,△OAC,△OAD,△OAE

3、,△OAF共5个;以OB为一边的三角形还有4个(前面已计数过的不再数,下同),它们是△OBC,△OBD,△OBE,△OBF;以OC为一边的三角形有△OCD,△OCE,△OCF共3个;以OD为一边的三角形有△ODE,△ODF共2个;以OE为一边的三角形有△OEF一个.所以,共有三角形5+4+3+2+1=15(个).  说明其实,不同的三角形数目等于线段AF中不同线段的条数.一般地,当原三角形的一条边上有n+1个点(包括两端点)时,它们与另一顶点的连线所构成的三角形总数为n+(n-1)+…+2+1=n(

4、n+1)/2.  例3(1)图1-67中一共有多少个长方形?  (2)所有这些长方形的面积和是多少?  解(1)图中长的一边有5个分点(包括端点),所以,长的一边上不同的线段共有1+2+3+4=10(条).  同样,宽的一边上不同的线段也有10条.  所以,共有长方形10×10=100(个).  (2)因为长的一边上的10条线段长分别为5,17,25,26,12,20,21,8,9,1,  宽的一边上的10条线段长分别为2,6,13,16,4,11,14,7,10,3.  所以,所有长方形面积和为(

5、5×2+5×6+…+5×3)+(17×2+17×6+…+17×3)+…+(1×2+1×6+…+1×3)=(5+17+…+1)×(2+6+…+3)=144×86=12384.  例4图1-68中共有多少个三角形?  解显然三角形可分为尖向上与尖向下两大类,两类中三角形的个数相等.尖向上的三角形又可分为6类:最大的三角形1个(即△ABC),  第二大的三角形有1+2=3(个),  第三大的三角形有1+2+3=6(个),  第四大的三角形有1+2+3+4=10(个),  第五大的三角形有1+2+3+4+5

6、=15(个),  最小的三角形有1+2+3+4+5+6+3=24(个).  我们的计数是有规律的.当然,要注意在△ABC外面还有三个最小的尖向上的三角形(左、右、下各一个),所以最小的三角形不是21个而是24个.  于是尖向上的三角形共1+3+6+10+15+24=59(个).  图中共有三角形59×2=118(个).  例5图1-69中有多少个等腰直角三角形?  解图1-69中有5×5+4×4=41个点.在每点标一个数,它等于以这点为直角顶点的等腰直角三角形的个数.因此,共有等腰直角三角形4×8+

7、5×16+6×4+10×4+8×4+11×4+16×1=268(个).  例6(1)图1-70(a)中有多少个三角形?  (2)图1-70(b)中又有多少个三角形?  解(1)图1-70(a)中有6条直线.一般来说,每3条直线能围成一个三角形,但是这3条直线如果相交于同一点,那么,它们就不能围成三角形了.从6条直线中选3条,有种选法(见说明),每次选出的3条直线围成一个三角形,但是在图1-70(a)中,每个顶点处有3条直线通过,它们不能围成三角形,因此,共有20-3=17个三角形.  (2)图1-7

8、0(b)中有7条直线,从7条直线中选3条,有7×6×5/6=35种选法.每不过同一点的3条直线构成一个三角形.  图1-70(b)中,有2个顶点处有3条直线通过,它们不能构成三角形,还有一个顶点有4条直线通过,因为4条直线中选3条有4种选法,即能构成4个三角形,现在这4个三角形没有了,所以,图1-70(b)中的三角形个数是35-2-4=29(个).  说明从6条直线中选2条,第一条有6种选法,第二条有5种选法,共有6×5种选法.但是每一种被重复算了一次,例如l1l2与

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文

此文档下载收益归作者所有

当前文档最多预览五页,下载文档查看全文
温馨提示:
1. 部分包含数学公式或PPT动画的文件,查看预览时可能会显示错乱或异常,文件下载后无此问题,请放心下载。
2. 本文档由用户上传,版权归属用户,天天文库负责整理代发布。如果您对本文档版权有争议请及时联系客服。
3. 下载前请仔细阅读文档内容,确认文档内容符合您的需求后进行下载,若出现内容与标题不符可向本站投诉处理。
4. 下载文档时可能由于网络波动等原因无法下载或下载错误,付费完成后未能成功下载的用户请联系客服处理。