初一数学竞赛辅导(第11讲)

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1、第十一讲线段与角  线段与角是初中平面几何中两个非常基本的概念,这两个概念在日常生活中有着广泛的应用.  小明做作业需要买一些文具.在他家的左边200米处有一家文具店,他从家出发向文具店走去,走到一半发现忘了带钱,又回家取钱买了文具后回到家中.问小明共走了多长的路程?  在高层建筑中,一般都设有电梯,人们上楼一般都乘坐电梯,你想过吗,设计电梯与线段的什么性质有关?  钟表是大家熟悉的计时工具,你可曾观察过在2点到3点之间什么时候时针与分针重合?什么时候时针与分针成90°角?  我们还可以在日常生活中提出许多与线段和角有关的问题,不少问题很有趣

2、,也颇费脑筋,对于留心观察、勤于思考的人来说是锻炼脑筋的好机会.  例1已知:AB∶BC∶CD=2∶3∶4,E,F分别是AB和CD的中点,且EF=12厘米(cm),求AD的长(如图1-6).  分析线段EF是线段AD的一部分,题设给出了EF的长度,只要知道线段EF占全线段AD的份额,就可求出AD的长了.  解因为AB∶BC∶CD=2∶3∶4,E是AB中点,F是CD中点,将线段AD9等分(9=2+3+4)且设每一份为一个单位,则AB=2,BC=3,CD=4,EB=1,CF=2.从而EF=EB+BC+CF=1+3+2=6,   例2在直线l上取A

3、,B两点,使AB=10厘米,再在l上取一点C,使AC=2厘米,M,N分别是AB,AC中点.求MN的长度(如图1-7).  分析因为是在直线上取C点,因此有两种情形:C点在A点的右侧或C点在A点的左侧.  解若C点在A点的右侧(即在线段AB上).因为AC=2厘米,N为AC中点,所以AN=1厘米;又AB=10厘米,M为AB中点,所以AM=5厘米.则  MN=AM-AN=5-1=4(厘米)(如图1-7(a)).  若C点在A点的左侧(即在线段BA延长线上),此时  MN=NA+AM=1+5=6(厘米)(如图1-7(b)).  线段的最基本性质是“两

4、点之间线段最短”,这在生活中有广泛应用.前面所提到的高层建筑所设电梯的路线,就是连接两层楼之间的线段,而楼梯的路线则是折线,电梯的路线最短.  例3如图1-8所示.在一条河流的北侧,有A,B两处牧场.每天清晨,羊群从A出发,到河边饮水后,折到B处放牧吃草.请问,饮水处应设在河流的什么位置,从A到B羊群行走的路程最短?  分析将河流看作直线l(如图1-9所示).设羊群在河边的饮水点为C',则羊群行走路程为AC'+C'B.设A关于直线l的对称点为A',由对称性知C'A'=C'A.  因此,羊群行走的路程为A'C'+C'B.  线段A'C'与C'B

5、是连结点A'与点B之间的折线.由线段的基本性质知,连结点A'与点B之间的线中,线段A'B最短.设线段A'B与直线l交于C.那么,C点就是所选的最好的饮水地点,下面我们来说明这一点.  解作A关于直线l的对称点A'.连结B,A',并设线段BA'与l交于C.设C'是l上不同于C的另外一点,只要证明  AC'+C'B>AC+CB①  即可.  利用线段基本性质及点关于直线的对称性知AC'=C'A'及CA=CA',  所以AC'+C'B=C'A'+C'B,AC+CB=CA'+CB=A'B.  而C'A'与C'B是连结A',B的折线,而A'B则是连结这

6、两点之间的线段,所以C'A'+C'B>A'B=A'C+CB=AC+CB,  从而①成立,即选择C点作为羊群的饮水点,羊群的行程最短.  例4将长为10厘米的一条线段用任意方式分成5小段,以这5小段为边可以围成一个五边形.问其中最长的一段的取值范围.  分析设AB是所围成的五边形ABCDE的某一边(图1-10),而线段BC,CD,DE,EA则可看成是点A,B之间的一条折线,因此,AB<BC+CD+DE+EA.  如果AB是最长的一段,上面的不等式关系仍然成立,从而可以求出它的取值范围.  解设最长的一段AB的长度为x厘米,则其余4段的和为(10

7、-x)厘米.由线段基本性质知x<10-x,所以x<5,即最长的一段AB的长度必须小于5厘米.  例5若一个角的余角与这个角的补角之比是2∶7,求这个角的邻补角.  分析这个问题涉及到一个角的余角、补角及两个角的比的概念,概念清楚了,问题不难解决.  解设这个角为α,则这个角的余角为90°-α,这个角的补角为180°-α.依照题意,这两个角的比为(90°-α)∶(180°-α)=2∶7.  所以360°-2α=630°-7α,5α=270°,  所以α=54°.从而,这个角的邻补角为180°-54°=126°.  例6若时钟由2点30分走到2点

8、50分,问时针、分针各转过多大的角度?  分析解这个问题的难处在于时针转过多大的角度,这就要弄清楚时针与分针转动速度的关系.每一小时,分针转动360°,而时针转动 

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