初一数学竞赛辅导(第21讲)

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1、第二十一讲应用问题的解题技巧  应用问题是中学数学的重要内容.它与现实生活有一定的联系,它通过量与量的关系以及图形之间的度量关系,形成数学问题.应用问题涉及较多的知识面,要求学生灵活应用所学知识,在具体问题中,从量的关系分析入手,设定未知数,发现等量关系列出方程,获得方程的解,并代入原问题进行验证.这一系列的解题程序,要求对问题要深入的理解和分析,并进行严密的推理,因此对发展创造性思维有重要意义.下面举出几个例题,略述一下解应用问题的技能和技巧.  1.直接设未知元  在全面透彻地理解问题的基础上,根据题中求什么就设什么是未知数,或要求几个量,可直接设出其中一个为未知数,这种设未知数的方法叫

2、作直接设未知元法.  例1某校初中一年级举行数学竞赛,参加的人数是未参加人数的3倍,如果该年级学生减少6人,未参加的学生增加6人,那么参加与未参加竞赛的人数之比是2∶1.求参加竞赛的与未参加竟赛的人数及初中一年级的人数.  分析本例中要求三个量,即参赛人数、未参赛人数,以及初中一年级人数.由已知条件易知,可直接设未参赛人数为x,那么参赛人数便是3x.于是全年级共有(x+3x)人.  由已知,全年级人数减少6人,即(x+3x)-6,①而未参加人数增加6人时,则参加人数是未参加人数的2倍,从而总人数为  (x+6)+2(x+6).②  由①,②自然可列出方程.  解设未参加的学生有x人,则根据分

3、析,①,②两式应该相等,所以有方程(x+6)+2(x+6)=(x+3x)-6,  所以x+6+2x+12=4x-6,  所以3x+18=4x-6,  所以x=24(人).  所以未参加竞赛的学生有24人,参加竞赛的小学生有3×24=72(人).  全年级有学生4×24=96(人).  说明本例若按所求量次序设参加人数为x人,则未参加人数为    例2一工人在定期内要制造出一定数量的同样零件,若他每天多做做多少个零件?定期是多少天?  分析若直接设这个工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做     另一方面,如果他每天少做5个,则要增加3天工期,因此,  显然,将此两式联立,解出x,y即可.

4、  解设工人要做x个零件,定期为y天,则他每天做x/y个,依分析有方程组  整理得  ②×2+①得  将x=50y代入②得y=27,x=50y=1350,    答工人要做1350个零件,定期为27天.  例3一队旅客乘坐汽车,要求每辆汽车的旅客人数相等.起初每辆汽车乘了22人,结果剩下1人未上车;如果有一辆汽车空着开走,那么所有旅客正好能平均分乘到其他各车上.已知每辆汽车最多只能容纳32人,求起初有多少辆汽车?有多少名旅客?  解设起初有汽车m辆,开走一辆空车后,平均每辆车所乘旅客为n人.由于m≥2,n≤32,依题意有22m+1=n(m-1).  所以  因为n为自然数,所以23/m-1为

5、整数,因此m-1=1,或m-1=23,  即m=2或m=24.  当m=2时,n=45(不合题意,舍去);当m=24时,n=23(符合题意).  所以旅客人数为:n(m-1)=23×(24-1)=529(人).  答起初有汽车24辆,有乘客529人.  注意解方程后所得结果必须代入原题检验根的合理性,并根据情况做具体讨论.  2.间接设元  如果对某些题目直接设元不易求解,便可将并不是直接要求的某个量设为未知数,从而使得问题变得容易解答,我们称这种设未知数的方法为间接设元法.  例4若进货价降低8%,而售出价不变,那么利润可由目前的p%增加到(p+10)%,求p.  分析本题若直接设未知元为

6、x,则不易列方程,为此,可间接设元,设进货价为x,则下降后的进货价为0.92x.由于售出价不变,它可用以下方程式表示:x(1+p%)=0.92x[1+(10+p)%].  解设原进货价为x,则下降8%后的进货价为0.92x.根据题意售货价不变,故有以下方程x(1+0.01p)=0.92x[1+0.01(p+10)],  约去x得1+0.01p=0.92[1+0.01(p+10)],  所以1+0.01p=0.92+0.0092p+0.092,  所以(0.01-0.0092)p=0.92+0.092-1,  即0.0008p=0.012,  所以p=15.  答原利润为15%.  例5甲乙两

7、人沿着圆形跑道匀速跑步,它们分别从直径AB两端同时相向起跑.第一次相遇时离A点100米,第二次相遇时离B点60米,求圆形跑道的总长.  分析与解如图1-76,设圆形跑道总长为2S,又设甲乙的速度分别为V,V',再设第一次在C点相遇,则第二次相遇有以下两种情况:  (1)甲乙第二次相遇在B点下方D处,此时有方程组  化简得  由③,④得  解此方程得S=0(舍去),S=240.  所以2S=480米.经检验是方

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