傅立叶变换、拉普拉斯变换、Z变换之间最本质的区别

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1、傅立叶变换就是将任一个函数展开成一系列正弦函数的形式，从而能够在频域进行频谱分析。而拉普拉斯变换是复频域，它的的引进主要是对微分方程起到了简便的变换作用，试想2阶的微分方程就够麻烦的了，高阶就别指望手动解了，数学系的牛人别见怪。所以拉式变换就将时域的微分方程变换成代数方程。而到了离散系统中，又出现了差分方程，因此人们就想既然连续系统中有拉式变换，那么是不是离散系统中也会有一个方法能够起到相同的简化作用呢？于是Z变化就提了出来。傅立叶变换：时域变到实频域，主要是想得到频率信息，而且只能得到频域信息。主要用

2、于信号处理。拉普拉斯变换：复频域，处理微分方程是一把好手，古典控制就是一个典型的应用。z变换：现代控制理论的东西，相当于把微分方程离散化了。第四章Z变换1Z变换的定义(1)序列的ZT：   (2)复变函数的IZT：，是复变量。(3)称与为一对Z变换对。简记为或      (4)序列的ZT是的幂级数。代表了时延，是单位时延。(5)单边ZT：(6)双边ZT：2ZT收敛域ROC定义：使给定序列的Z变换中的求和级数收敛的z的集合。收敛的充要条件是它(3)有限长序列的ROC序列在或(其中)时。收敛域至少是。序列的

3、左右端点只会影响其在0和处的收敛情况：当时，收敛域为(除外)当时，收敛域为(除外)当时，收敛域为(除外)右边序列的ROC序列在时。如果，则序列为因果序列。ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。左边序列的ROC序列在时。如果，则序列为反因果序列。ROC的情况：当时，ROC为；当时，ROC为。双边序列的ROC序列在整个区间都有定义。双边序列可以看成是左边序列和右边序列的组合，于是如果存在且，则双边序列的ROC为，否则，ROC为空集，即双边序列不存在ZT。注意：求得的是级数收敛的充分而非必要条件，实际

4、收敛域可能会更大；实际的离散信号通常都是因果序列，此时单边ZT与双边ZT是一致的，收敛域也相同，都是z平面上的某个圆外面的区域。关于极点与ROC关系的一些结论：一般地讲，序列的ZT在其ROC内是解析的，因此ROC内不应包含任何极点，且ROC是连通的。序列ZT的ROC是以极点为边界的。右边序列ZT的ROC，是以其模最大的有限极点的模为半径的圆外面的区域(不包括圆周)。左边序列ZT的ROC，是以其模最小的非零极点的模为半径的圆内部的区域(不包括圆周)。双边序列ZT的ROC，是以模的大小相邻近的两个极点的模为

5、半径的两个圆所形成的圆环区域(不包括两个圆周)。3常用序列及其ZT单位冲激序列d(n)定义：ZT：ROC：注意：单位冲激序列不是单位冲激函数的简单离散抽样。单位阶跃序列u(n)定义：ZT：序列的单边ZT用双边ZT表示为：序列是因果序列的充要条件是：序列是反因果序列的充要条件是：矩形脉冲序列GN(n)定义：ZT：()注意：矩形脉冲序列亦非单位矩形脉冲信号的简单离散抽样，它们之间还存在一个时移关系。单位斜变序列nu(n)单边指数序列anu(n)4ZT的性质(1)线性性：()(2)时域平移性：(i)双边ZT：

6、                    (a)左移：  ()(b)右移：()(c)序列时移最多只会使ZT在处的零、极点情况发生变化。             (ii)单边ZT：左移：右移：()      对因果序列：(3)时域扩展性：定义：，a是扩展因子。a>1时，相当于在原序列每两点之间插入(a-1)个零。a<-1时，相当于原序列先反褶，然后每两点之间插入(-a-1)个零。ROC：或如序列是偶对称的，则如序列是奇对称的，则如果一个偶对称或奇对称序列的ZT含有一个非零的零点(或极点)，那么它必含有另外一

7、个与互为倒数的零点(或极点)。(4)时域共轭性：(i)    ()(ii)如果序列是实序列，则(iii)如果实序列的ZT含有一个零点(或极点)，那么它必含有另外一个与之共轭对称的零点(或极点)。(5)z域尺度变换(或序列指数加权)性：用复指数序列去调制一个序列时，可以调制其相位特性。      (6)z域微分(或序列线性加权)性：             (i)     ()             (ii)ROC唯一可能的变化是加上或去掉0或。             (iii)  ()初值定理：是因

8、果序列，，则。终值定理：是因果序列，，则只有在存在时才能用,此时的极点必须在单位圆内(如果位于单位圆上则只能位于，且是一阶极点)。逆Z变换的求解部分分式展开法：基本思路：把展开成常见部分分式之和，然后分别求各部分的逆变换，最后把各逆变换相加即可得到。通常做法展开的对象是，而不是。幂级数展开法：把按展成幂级数，那么其系数组成的序列即为所求。这种方法有时给不出一个闭式表达式。6离散时间系统离散时间系统及其分类：定义：离散时间系统就是输入输出都是