大学物理学振动与波动习题答案

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1、.大学物理学(上)第四,第五章习题答案第4章振动word教育资料.P174.4.1一物体沿x轴做简谐振动,振幅A=0.12m,周期T=2s.当t=0时,物体的位移x=0.06m,且向x轴正向运动.求:(1)此简谐振动的表达式;(2)t=T/4时物体的位置、速度和加速度;(3)物体从x=-0.06m,向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间.[解答](1)设物体的简谐振动方程为x=Acos(ωt+φ),其中A=0.12m,角频率ω=2π/T=π.当t=0时,x=0.06m,所以cosφ=0.5,因此φ=±π/3.物体的速度为v=dx/dt=-ωAsin

2、(ωt+φ).当t=0时,v=-ωAsinφ,由于v>0,所以sinφ<0,因此φ=-π/3.简谐振动的表达式为x=0.12cos(πt–π/3).(2)当t=T/4时物体的位置为x=0.12cos(π/2–π/3)=0.12cosπ/6=0.104(m).速度为v=-πAsin(π/2–π/3)=-0.12πsinπ/6=-0.188(m·s-1).加速度为a=dv/dt=-ω2Acos(ωt+φ)=-π2Acos(πt-π/3)=-0.12π2cosπ/6=-1.03(m·s-2).(3)方法一:求时间差.当x=-0.06m时,可得cos(πt1-π

3、/3)=-0.5,因此πt1-π/3=±2π/3.由于物体向x轴负方向运动,即v<0,所以sin(πt1-π/3)>0,因此πt1-π/3=2π/3,得t1=1s.当物体从x=-0.06m处第一次回到平衡位置时,x=0,v>0,因此cos(πt2-π/3)=0,可得πt2-π/3=-π/2或3π/2等.由于t2>0,所以πt2-π/3=3π/2,可得t2=11/6=1.83(s).所需要的时间为Δt=t2-t1=0.83(s).方法二:反向运动.物体从x=-0.06m,向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x=0.06m,即从起点向x轴正方

4、向运动第一次回到平衡位置所需的时间.在平衡位置时,x=0,v<0,因此cos(πt-π/3)=0,可得πt-π/3=π/2,解得t=5/6=0.83(s).[注意]根据振动方程x=Acos(ωt+φ),当t=0时,可得φ=±arccos(x0/A),(-π<φ≦π),初位相的取值由速度决定.由于v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ),当t=0时,v=-ωAsinφ,当v>0时,sinφ<0,因此φ=-arccos(x0/A);word教育资料.当v<0时,sinφ>0,因此φ=arccos(x0/A).可见:当速度大于零时,初位相取负值;当速度小于零时

5、,初位相取正值.如果速度等于零,当初位置x0=A时,φ=0;当初位置x0=-A时,φ=π.4.2已知一简谐振子的振动曲线如图所示,试由图求:(1)a,b,c,d,e各点的位相,及到达这些状态的时刻t各是多少?已知周期为T;OtxabcdeA/2A图6.2(2)振动表达式;(3)画出旋转矢量图.[解答]方法一:由位相求时间.(1)设曲线方程为x=AcosΦ,其中A表示振幅,Φ=ωt+φ表示相位.由于xa=A,所以cosΦa=1,因此Φa=0.由于xb=A/2,所以cosΦb=0.5,因此Φb=±π/3;由于位相Φ随时间t增加,b点位相就应该大于a点的位相,

6、因此Φb=π/3.由于xc=0,所以cosΦc=0,又由于c点位相大于b位相,因此Φc=π/2.同理可得其他两点位相为Φd=2π/3,Φe=π.c点和a点的相位之差为π/2,时间之差为T/4,而b点和a点的相位之差为π/3,时间之差应该为T/6.因为b点的位移值与O时刻的位移值相同,所以到达a点的时刻为ta=T/6.到达b点的时刻为tb=2ta=T/3.到达c点的时刻为tc=ta+T/4=5T/12.到达d点的时刻为td=tc+T/12=T/2.到达e点的时刻为te=ta+T/2=2T/3.(2)设振动表达式为x=Acos(ωt+φ),当t=0时,x=A

7、/2时,所以cosφ=0.5,因此φ=±π/3;由于零时刻的位相小于a点的位相,所以φ=-π/3,因此振动表达式为.OxaAbcdeφ另外,在O时刻的曲线上作一切线,由于速度是位置对时间的变化率,所以切线代表速度的方向;由于其斜率大于零,所以速度大于零,因此初位相取负值,从而可得运动方程.(3)如图旋转矢量图所示.OtxabcdeA/2Af方法二:由时间求位相.将曲线反方向延长与t轴相交于f点,由于xf=0,根据运动方程,可得所以.word教育资料.显然f点的速度大于零,所以取负值,解得tf=-T/12.从f点到达a点经过的时间为T/4,所以到达a点的时

8、刻为ta=T/4+tf=T/6,其位相为.由图可以确定其他点的时刻,同理可得各点

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