大学物理学振动与波动习题答案

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1、.大学物理学（上）第四，第五章习题答案第4章振动word教育资料.P174．4．1一物体沿x轴做简谐振动，振幅A=0.12m，周期T=2s．当t=0时，物体的位移x=0.06m，且向x轴正向运动．求：（1）此简谐振动的表达式；（2）t=T/4时物体的位置、速度和加速度；（3）物体从x=-0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间．[解答]（1）设物体的简谐振动方程为x=Acos(ωt+φ)，其中A=0.12m，角频率ω=2π/T=π．当t=0时，x=0.06m，所以cosφ=0.5，因此φ=±π/3．物体的速度为v=dx/dt=-ωAsin

2、(ωt+φ)．当t=0时，v=-ωAsinφ，由于v>0，所以sinφ<0，因此φ=-π/3．简谐振动的表达式为x=0.12cos(πt–π/3)．（2）当t=T/4时物体的位置为x=0.12cos(π/2–π/3)=0.12cosπ/6=0.104(m)．速度为v=-πAsin(π/2–π/3)=-0.12πsinπ/6=-0.188(m·s-1)．加速度为a=dv/dt=-ω2Acos(ωt+φ)=-π2Acos(πt-π/3)=-0.12π2cosπ/6=-1.03(m·s-2)．（3）方法一：求时间差．当x=-0.06m时，可得cos(πt1-π

3、/3)=-0.5，因此πt1-π/3=±2π/3．由于物体向x轴负方向运动，即v<0，所以sin(πt1-π/3)>0，因此πt1-π/3=2π/3，得t1=1s．当物体从x=-0.06m处第一次回到平衡位置时，x=0，v>0，因此cos(πt2-π/3)=0，可得πt2-π/3=-π/2或3π/2等．由于t2>0，所以πt2-π/3=3π/2，可得t2=11/6=1.83(s)．所需要的时间为Δt=t2-t1=0.83(s)．方法二：反向运动．物体从x=-0.06m，向x轴负方向运动第一次回到平衡位置所需的时间就是它从x=0.06m，即从起点向x轴正方

4、向运动第一次回到平衡位置所需的时间．在平衡位置时，x=0，v<0，因此cos(πt-π/3)=0，可得πt-π/3=π/2，解得t=5/6=0.83(s)．[注意]根据振动方程x=Acos(ωt+φ)，当t=0时，可得φ=±arccos(x0/A)，（-π<φ≦π），初位相的取值由速度决定．由于v=dx/dt=-ωAsin(ωt+φ)，当t=0时，v=-ωAsinφ，当v>0时，sinφ<0，因此φ=-arccos(x0/A)；word教育资料.当v<0时，sinφ>0，因此φ=arccos(x0/A)．可见：当速度大于零时，初位相取负值；当速度小于零时

5、，初位相取正值．如果速度等于零，当初位置x0=A时，φ=0；当初位置x0=-A时，φ=π．4．2已知一简谐振子的振动曲线如图所示，试由图求：（1）a，b，c，d，e各点的位相，及到达这些状态的时刻t各是多少？已知周期为T；OtxabcdeA/2A图6.2（2）振动表达式；（3）画出旋转矢量图．[解答]方法一：由位相求时间．（1）设曲线方程为x=AcosΦ，其中A表示振幅，Φ=ωt+φ表示相位．由于xa=A，所以cosΦa=1，因此Φa=0．由于xb=A/2，所以cosΦb=0.5，因此Φb=±π/3；由于位相Φ随时间t增加，b点位相就应该大于a点的位相，

6、因此Φb=π/3．由于xc=0，所以cosΦc=0，又由于c点位相大于b位相，因此Φc=π/2．同理可得其他两点位相为Φd=2π/3，Φe=π．c点和a点的相位之差为π/2，时间之差为T/4，而b点和a点的相位之差为π/3，时间之差应该为T/6．因为b点的位移值与O时刻的位移值相同，所以到达a点的时刻为ta=T/6．到达b点的时刻为tb=2ta=T/3．到达c点的时刻为tc=ta+T/4=5T/12．到达d点的时刻为td=tc+T/12=T/2．到达e点的时刻为te=ta+T/2=2T/3．（2）设振动表达式为x=Acos(ωt+φ)，当t=0时，x=A

7、/2时，所以cosφ=0.5，因此φ=±π/3；由于零时刻的位相小于a点的位相，所以φ=-π/3，因此振动表达式为．OxaAbcdeφ另外，在O时刻的曲线上作一切线，由于速度是位置对时间的变化率，所以切线代表速度的方向；由于其斜率大于零，所以速度大于零，因此初位相取负值，从而可得运动方程．（3）如图旋转矢量图所示．OtxabcdeA/2Af方法二：由时间求位相．将曲线反方向延长与t轴相交于f点，由于xf=0，根据运动方程，可得所以．word教育资料.显然f点的速度大于零，所以取负值，解得tf=-T/12．从f点到达a点经过的时间为T/4，所以到达a点的时

8、刻为ta=T/4+tf=T/6，其位相为．由图可以确定其他点的时刻，同理可得各点