双曲线椭圆练习题

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1、四．基本方法和数学思想1.椭圆焦半径公式：设P（x0,y0）为椭圆（a>b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则（e为离心率）；2.双曲线焦半径公式：设P（x0,y0）为双曲线（a>0,b>0）上任一点，焦点为F1(-c,0),F2(c,0),则:（1）当P点在右支上时，；（2）当P点在左支上时，；（e为离心率）；另：双曲线（a>0,b>0）的渐进线方程为；3.抛物线焦半径公式：设P（x0,y0）为抛物线y2=2px(p>0)上任意一点，F为焦点，则；y2=2px(p＜0)上任意一点，F为焦点，；4.涉及圆锥

2、曲线的问题勿忘用定义解题；5.共渐进线的双曲线标准方程为为参数，≠0）；6.计算焦点弦长可利用上面的焦半径公式，一般地，若斜率为k的直线被圆锥曲线所截得的弦为AB，A、B两点分别为A(x1，y1)、B(x2,y2)，则弦长,这里体现了解析几何“设而不求”的解题思想；7.椭圆、双曲线的通径（最短弦）为，焦准距为p=，抛物线的通径为2p，焦准距为p;双曲线（a>0，b>0）的焦点到渐进线的距离为b;8.中心在原点，坐标轴为对称轴的椭圆，双曲线方程可设为Ax2+Bx2＝1；9.抛物线y2=2px(p>0)的焦点弦（过焦点的弦）为AB，

3、A（x1,y1）、B(x2,y2),则有如下结论：（1）＝x1+x2+p;（2）y1y2=－p2，x1x2=;10.过椭圆（a>b>0）左焦点的焦点弦为AB，则，过右焦点的弦；11.对于y2=2px(p≠0)抛物线上的点的坐标可设为（，y0）,以简化计算;12.处理椭圆、双曲线、抛物线的弦中点问题常用代点相减法，设A(x1，y1)、B(x2,y2)为椭圆（a>b>0）上不同的两点，M(x0,y0)是AB的中点，则KABKOM=；对于双曲线（a>0，b>0），类似可得：KAB.KOM=；对于y2=2px(p≠0)抛物线有KAB＝1

4、3.求轨迹的常用方法：（1）直接法：直接通过建立x、y之间的关系，构成F(x,y)＝0，是求轨迹的最基本的方法；（2）待定系数法：所求曲线是所学过的曲线：如直线，圆锥曲线等，可先根据条件列出所求曲线的方程，再由条件确定其待定系数，代回所列的方程即可；（3）代入法（相关点法或转移法）：若动点P(x,y)依赖于另一动点Q(x1,y1)的变化而变化，并且Q(x1,y1)又在某已知曲线上，则可先用x、y的代数式表示x1、y1，再将x1、y1带入已知曲线得要求的轨迹方程；（4）定义法：如果能够确定动点的轨迹满足某已知曲线的定义，则可由曲线

5、的定义直接写出方程；（5）参数法：当动点P（x,y）坐标之间的关系不易直接找到，也没有相关动点可用时，可考虑将x、y均用一中间变量（参数）表示，得参数方程，再消去参数得普通方程。例题1　求过点（2，1）且与两坐标所围成的三角形面积为4的直线方程。错解：设所求直线方程为。∵（2，1）在直线上，∴，①又，即ab=8，②由①、②得a=4，b=2。故所求直线方程为x+2y=4。剖析：本题的“陷阱”是直线与两坐标轴所围成的三角形面积的表示。上述解法中，由于对截距概念模糊不清，误将直线在x轴和y轴上的截距作距离使用而掉入“陷阱”。事实上，直

6、线与两坐标轴所围成的三角形面积为，而不是ab。故所求直线方程应为：x+2y=4，或（+1）x-2（-1）y–4=0，或（-1）x-2（+1）y+4=0。例题2　已知三角形的三个顶点为A（6，3），B（9，3），C（3，6），求A。错解：∵kAB=0，kAC==-1，∴tanA===1.又0＜A＜1800，∴A=450。剖析：本题的“陷阱”是公式的选取，上述解法中把“到角”与“夹角”的概念混为一谈，错误地选用了夹角公式。事实上，所求角应是直线AB到AC（注意：不是AC到AB）的角。因此，∴tanA==-1，A=1350。例题3　求

7、过点A（-4，2）且与x轴的交点到（1，0）的距离是5的直线方程。错解：设直线斜率为k，其方程为y–2=k（x+4），则与x轴的交点为（-4-，0），∴，解得k=-。故所求直线的方程为x+5y–6=0。剖析：题中仅考虑了斜率存在的情况，忽视了斜率不存在的情况，即经过A且垂直于x轴的直线，落入“陷阱”。其实x=-4也符合题意。例题4　求过点（1，1）且横、纵截距相等的直线方程。错解：设所求方程为，将（1，1）代入得a=2，从而得所求直线方程为x+y–2=0。剖析：上述错解所设方程为，其中不含横、纵截距为0的特殊情形，事实上，横、纵

8、截距为0且过点（1，1）的直线y=x也符合条件。例题5　已知圆的方程为x2+y2+ax+2y+a2=0，一定点为A（1，2），要使过A点作圆的切线有两条，求a的取值范围。错解：将圆的方程配方得：(x+)2+(y+1)2=。∵其圆心坐标为C（－，－1），半径r＝。