表格法解线性规划问题

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1、表格法解线性规划问题【教学目标】知识目标：理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.能力目标：通过例子详细地介绍了表格法解线性规划问题的过程，并引入了线性规划标准型的概念，归纳总结了表格法解线性规划问题的步骤.【教学重点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.【教学难点】理解用表格法解线性规划问题的方法和步骤.【教学设计】1、表格法也称单纯形法，是解线性规划问题的常用方法，使用该方法时，首先要将一般的线性规划问题化为标准型.在教材中给出了化标准型的方法.讲解时一定要注意b≥0以及变量的非负性.2、表格法解线性规划问题的过程，教材中归纳为五个步骤，这实际上是一

2、个算法，可以利用前面介绍过的算法知识来学习.3、初始表格中初始解组的确定是关键，一般可取松弛变量，但当标准型中没有这样的变量满足初始解组的要求时，通常要通过添加人工变量来解决，本教材没有就这方面的问题进行深入讨论（一般的运筹学教材中都可找到该内容）.4、表格在转换时（通常称为转轴），教材中提到用加减消元法来转轴.教师可就这部分内容作适当的讲解.5、由于通常的表格转换要进行多次，而表头部分是不变的，因此可以将多张表格合并起来，具体样式可参见5.5节表5-16.12【教学过程】5.3.1线性规划问题的标准形式求线性规划问题的图解法虽然直观简便，但对多于两个变量的

3、情况就不能适用了，对于多于两个决策变量的线性规划问题，可以用什么方法呢？下面介绍一种用表格的方法来求解线性规划问题的解.表格法是根据单纯形法而专门设计的一种计算表格.单纯形法（SimpleMethod）是求解线性规划问题的主要方法，该法由丹赛（Dantzig）于1947年提出，后经过多次改进而成，是求解线性规划问题的实用算法.由上节的叙述可知，如果线性规划问题的最优解存在，则必定可以在其可行解集合的顶点（极点）中找到．因此，寻求一个最优解就是在其可行域的各个极点中搜索最优点.单纯形法实质上是一个迭代过程，该迭代即是从可行域的一个极点移到另一个近邻的极点，直到

4、判定某一极点为最优解为止.为使用表格法，首先介绍线性规划问题的标准形式.一般的线性规划问题中目标函数可能是求最大(或最小)值，而线性约束条件中可能是线性方程，也可能是线性不等式，约束条件中约束方程（或不等式）的个数也未必就比决策变量的个数少，这些问题对于线性规划的求解，带来极大的不便，为此，引入下述标准形式：求目标函数最大值(用和式表示为)12用和式表示为满足其中，都是确定的常数，是决策变量，Z是目标函数，叫做技术系数，≥0（叫做资源系数，叫做目标函数系数.特点：1、目标函数为极大化；2、除决策变量的非负约束外，所有的约束条件都是等式，且右端常数均为非负；3

5、、所有决策变量均非负．如果根据实际问题建立起来的线性规划模型不是标准型的，可以用下述方法将它化为标准型.（1）若目标函数是可令将目标函数转化为（2）若约束条件不等式中是“≤”,可在不等式左边加上非负变量，将不等式转化为方程.如≤180可转化为其中≥0.这里的叫做松弛变量.表示没有用完的资源.（3）若约束条件不等式是“≥”12，可在不等式左边减去非负变量，将不等式转化为等式方程，如≥10可转化为，其中，≥0.这里的叫做多余变量，表示不存在的资源.一般地，松弛变量和多余变量的目标函数系数为0.（4）若有一个变量没有非负约束（叫做自由变量），可令，其中≥0，≥0.

6、知识巩固例1将5.1节问题1中的线性规划问题化为标准型约束条件求目标函数最大值解分别对前三个约束条件引入松弛变量，得标准型：约束条件求目标函数最大值5.3.2表格法下面我们通过实例来介绍表格法.首先要列出初始表格．为了得到初始表格，我们分几步来说明：先把标准型中的约束条件方程转换成表格（表5.4）的形式．如:5.1问题1转化的结果为：12列成表格为：表5.46210018041001040035001210(表格中的列数为变量个数加1，行数为方程个数加1)从约束方程中，很容易得到，当，时，，，，显然这是一组可行解（我们把它叫作初始解组），将其中三个取非0值的

7、变量列成一列对应地加在上表的最左侧，然后再在所得表的左侧添加一列对应于该初始解组变量的目标函数系数，在表的上侧添加一行对应于各变量的目标函数系数，得如下表：12其中在初始解组中的变量必须满足在对应行的约束条件方程中系数为1，而同列其他系数为0，（如果约束条件方程中不满足这要求，可以通过对线性约束条件方程作加减消元法而得到.）再在上表的基础上，增加1行(叫做检验数行)和1列(叫做比值列)得下面形式：按下面的计算公式在表中依次填上检验数行和比值列12,其中检验数计算公式例如，即为所在列的目标函数系数行中的值减去该列系数与第一列初始解组的目标函数系数的对应乘积和，

8、.选取检验数最大的正数所在列(记作列，表中用[]表示