河北工业大学线性代数考试试题纸

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1、河北工业大学考试试题纸（A卷）课程名称线性代数题号一二三四五六七八九十总分题分151532141410100备注:学生不得在试题纸上答题(含填空题、选择题等客观题)一、填空题（每小题3分，共15分）1、设，则＝____________。2、设，且，则＝____________。3、已知，是三元齐次线性方程组的两个不同的解，且，则该方程组的通解为____________。4、已知向量组，，，，则＝____________。5、设三阶方阵与对角阵相似，则＝。二、单项选择题（每小题3分，共15分）1、设是n维列向量

2、，且，则＝（）。(A)1(B)0(C)2(D)2、设，，，则＝（）。(A)1(B)2(C)1/2(D)43、设是向量空间的一个基，则下列仍是的一个基的是（）。(A)(B)(C)(D)4、二次型是正定二次型，则应满足（）。(A)(B)(C)(D)5、设A为阶方阵，为的伴随矩阵，且，则的秩为（）。(A)(B)(C)1(D)0三、计算题(每小题8分，共32分)1、已知是行列式的元素的代数余子式，计算；2、设，，求矩阵，使其满足；3、设为n阶方阵，且，计算；4、设，，，，求：、为何值时，能由线性表示，且表示唯一，并求

3、出表示式。四、(14分)已知线性方程组（1）求：a为何值时，方程组有唯一解、无解、有无穷多个解；（2）在方程组有无穷多个解时，用其对应的齐次线性方程组的基础解系表示其通解。五、（14分）已知实二次型，（1）写出的矩阵；（2）求的秩；（3）求正交变换（必须写出正交变换矩阵P），把化为标准形。六、证明题（共10分）1、（6分）设是齐次线性方程组的一个基础解系，证明：，，，也是该方程组的一个基础解系；2、（4分）设为阶方阵，且，，证明：。河北工业大学教务处试题标准答案及评分标准用纸课程名称:线性代数（A卷）一、填空

4、题（每小题3分，共15分）1、；2、；3、k(),kR；4、3；5、3.二、选择题（每小题3分，共15分）1、C2、A3、B4、D5、D三、解答题（每小题8分，共32分）1、………………………………………………………………（3分）………………………………………………………………（8分）2、由得……………………………………………………………（2分）因～～………………………………………………（6分）所以X=………………………………………………………………（8分）3、因，…………………………………………………………

5、…（2分）所以…………………………………………………………（4分）==…………………………………………………………（6分）==………………………………………………………………（8分）4、记，设.………………………………………（2分）解法一：～～……………………………………（4分）故当且时，方程组有唯一解，即能由线性表示，且表示式唯一；………（6分）此时，～，.……………………………………（8分）解法二：……………………………………（2分）故当且时，方程组（1）有唯一解，即能由线性表示，且表示式唯一；……（4分

6、）此时，～～～……………………………（4分）………………………………………………（8分）四（14分）、系数矩阵为，增广矩阵为，（1）解法一B～～……………………（4分）当且时，，方程组有唯一解；当时，B～，，方程组无解；当时，B～，，方程组有无穷多个解。………………（7分）解法二…………………………………（4分）当且时，,，方程组有唯一解；当时，～，，方程组无解；当时，～，，方程组有无穷多个解。………………………………………………（7分）(2)在方程组有无穷多个解时，得同解方程组，取，得原方程组一特解；………

7、………………………………………………………（9分）在中取，得原方程组对应齐次线性方程组的基础解系为，；………………………………………………（12分）所以原方程组的通解为，为任意常数。…………………………………（14分）注：此题基础解系有很多种表示形式，改卷时需注意。五（14分）、（1）的矩阵；…………………………………………………………………（2分）（2）因，,所以的秩为2；…………………………………………（3分）（3）由，得A的特征值为，。……………（6分）当时，解方程，由=～，得基础解系；当时，解方程，由

8、=～，得基础解系；把单位化，得，…………………………………………（12分）则有正交阵和正交变换，把化为标准形.………………………………………………………………………（14分）注：此题基础解系有很多种表示形式，故正交阵有多种形式，改卷时需注意。六、证明题1、（6分）证法一：由其次线性方程组解的性质知，，，都是的解；……………………………………………………………（2分）则有,,,，因所以K可逆，或～，所