某些度量切丛上的单位球面【开题报告】

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1、毕业论文开题报告数学与应用数学某些度量切丛上的单位球面一、选题的背景与意义Finsler几何的历史可以追溯到黎曼的著名演讲,黎曼早在1854年的著名就职演讲中试图用空间中的模来定义更广泛的度量空间，也就是后来的被称为Finsler几何的研究，但是并没有很好的进展。1918年Finsler在他的一篇论文中讨论了基于变分定义度量的一般原则，研究了一般的正则度量空间中的曲线和曲面的变分问题，正因如此，后来把这样的正则度量空间称之为Finsler空间。近十几年来，Finsler几何学家对Finsler度量的整体性质作

2、了大量研究，并取得了一系列重要结果。如关于常旗曲率Finsler空间的整体结构，法国籍伊朗裔数学家AkbarZadeh证明了：在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的Finsler度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的Finsler度量一定是局部Minkowski度量。进一步，莫小欢与沈忠民证明了：在维数大于2的Finsler流形上，若Finsler度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则Finsler度量一定是Randers度量，这说明了研究Randers度量的重要性。黎曼流形的切丛与单位切球丛的几何及黎曼流形上的

3、极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并且仍是前沿研究的一个热点之一。但在Finsler几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相关结果还很少。因此，Finsler几何学家将在未来的研究工作中深入研究Finsler流形的切丛与单切球丛的几何，并深入研究Finsler流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和映照的稳定性。这些内容都是十分重要和有趣的课题。 切丛是微分流行M上的一种特殊的向量丛，微分几何中研究切丛上的问题将对我们研究度量本身

4、有很大的帮助，比如Gauss-Bonnet-Chern公式等。Finsler度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球面是否具有特殊的曲率性质是很吸引人的问题。本课题将主要研究2维的Finsler度量切丛上的单位球面。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1.学习Finsler几何中切丛上单位球面的含义。1.1切丛单位球面的定义1.1切丛单位球面上的一些重要的几何量的介绍2.对某些特殊度量的单位切球面进行讨论。2.1介绍Finsler度量以及一些特殊的Finsler度量2.2分析Finsler度量的切丛上那些长

5、度为1的向量构成的单位球面3.对于Randers度量等某些Finsler度量做出单位切圆的具体图形。3.1引入相关定理的证明3.2解出满足F(v)=1的单位圆的方程3.3做出单位切圆的具体图形4.得到相关结果。4.1根据图形和方程得到Finsler度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球面具有特殊的曲率性质5.讨论得到结果的具体含义。三、研究的方法与技术路线由导师指导，通过学习和查阅文献，以当前研究的成果入手，了解Finsler几何中切丛上单位球面的含义,研究2维的Finsler度量切丛上的单位球面,通过做

6、出单位圆的具体图形得到相关结果。四、研究的总体安排与进度2010年12月1日-12月31日   收集资料，查阅文献，学习基础相关知识。2011年1月1日-2月28日    研究Finsler度量切丛上的单位球面，进行具体计算，分析。2011年3月1日-3月31日    完成主要定理证明，得到相关结果，完成初稿。2011年4月1日-5月1日    基本定稿，完成论文，准备答辩。五、主要参考文献[1]沈忠民，詹华税．几何中若干问题之研究(1)[J]集美大学学报(自然科学版)，1999，4(3)：76-83．[2]

7、伍鸿熙，陈维桓．黎曼几何选讲[M]北京：北京大学出版杜，1993[3]沈一兵。整体微分几何初步[M]北京：高等教育出版社，2009。7[4]徐森林，薛春华，胡自胜，金亚东。近代微分几何[M]合肥:中国科学技术大学出版社，2009。6[1]卡尔莫。曲线和曲面的微分几何学。上海：上海科学技术出版社,1988。[2] PFi~lsler．Oberkurvenundmchertinp［J]gemeinenRn［M]．C,Ottingen：Di~on，1918．[3]Zhongmin Shen,Two-Dimensio

8、nal Finsler Metrics with Constant Curvature,to　appear。[4]GluckH,ZillerW。Onthevolumeofaunitvectorfieldonthethree　sphere[J]。CommMathHelv,1986,61:177-192[5]ZhouJW,HuangH。GeometryonGrassmannmanifoldsG(2,8)