某些度量切丛上的单位球面【开题报告】

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1、毕业论文开题报告数学与应用数学某些度量切丛上的单位球面一、选题的背景与意义Finsler儿何的历史可以追溯到黎曼的著名演讲，黎曼早在1854年的著名就职演讲屮试图用空间屮的模来定义更广泛的度量空间，也就是后来的被称为Finsler几何的研究，但是并没有很好的进展。1918年Finsler在他的一篇论文中讨论了基于变分定义度量的一般原则，研究了一般的正则度量空间中的曲线和曲面的变分问题，正因如此，后來把这样的正则度量空间称之为Finsler空间。近十儿年来，Finsler儿何学家对Finsler度量的整体性质作了大量研究，并取得了一系列重要结果。如关于常旗曲率Finsler空间

2、的整体结构，法国籍伊朗裔数学家AkbarZadch证明了：在紧致流形上，任何具有负常数旗曲率的Finsler度量一定是黎曼度量，任何旗曲率为0的Finsler度量一定是局部Minkowski度量。进一步，莫小欢与沈忠民证明了：在维数大于2的Finsler流形上，若Finsler度量具有标量旗曲率且其旗曲率是负的，则Finsler度量一定是Randers度量，这说明了研究Randers度量的重要性。黎曼流形的切从与单位切球从的几何及黎曼流形上的极小或调和单位向量场已被广泛研究和讨论，并11仍是前沿研究的一个热点之一。但在Finsler几何情形，相应的内容还没有得到足够的重视，相

3、关结果还很少。因此，Finsler几何学家将在未来的研究工作中深入研究Finsler流形的切丛与单切球丛的儿何，并深入研究Finsler流形上的极小或调和单位向量场，探讨极小子流形与调和映照的联系以及它们的几何变分特征，在一定的曲率条件下讨论调和映照的稳定性。这些内容都是十分重要和有趣的课题。切丛是微分流行M上的一种特殊的向量丛，微分几何屮研究切丛上的问题将对我们研究度量本身有很大的帮助，比如Gauss-Bonnet-Chern公式等。Finsler度量的切丛上那些长度为1的向量构成的单位球而是否具冇特殊的曲率性质是很吸引人的问题。本课题将主要研究2维的Finsler度量切从

4、上的单位球面。二、研究的基本内容与拟解决的主要问题1.学习Finsler几何中切丛上单位球面的含义。L1切从单位球面的定义1.2切丛单位球面上的一些重要的儿何量的介绍1.对某些特殊度量的单位切球面进行讨论。2.1.介绍Finsler度量以及一些特殊的Finsler度量2.2分析Finsler度量的切从上那些长度为1的向量构成的单位球面2.对于Randers度量等某些Finsler度量做出单位切圆的具体图形。3丄引入相关定理的证明3.2解出满足F(v)=l的单位圆的方程33做出单位切

5、员

6、的具体图形3.得到相关结果。4丄根据图形和方程得到Finsler度量的切丛上那些长度为1的

7、向量构成的单位球而具冇特殊的曲率性质4.讨论得到结果的具体含义。三、研究的方法与技术路线由导师指导，通过学习和查阅文献，以当前研究的成果入手，了解Finsler几何中切从上单位球面的含义，研究2维的Finsler度量切从上的单位球面,通过做出单位I员I的具体图形得到相关结果。四、研究的总体安排与进度2010年12月1日—12月31日收集资料，查阅文献，学习基础相关知识。2011年1月1H-2月28H分析。2011年3月1口-3月31fl2011年4月1日―5月1日研究Finsler度量切丛上的单位球而，进行具体计算,完成主要定理证明，得到相关结果，完成初稿。基本定稿，完成论文

8、，准备答辩。五、主要参考文献［1］沈忠民，詹华税.几何中若干问题Z研究(1)［J］集美大学学报(自然科学版),1999,4(3)：76-83.［2］伍鸿熙，陈维桓•黎曼几何选讲［M］北京：北京大学出版杜，1993［3］沈一兵。整体微分几何初步［M］北京：高等教育出版社，2009o7[4]徐森林，薛春华，胡自胜，金亚东。近代微分几何[M]合肥:中国科学技术大学出版社，2009o6[5]卡尔莫。曲线和曲面的微分几何学。上海：上海科学技术出版社,1988。[6]PFi^lsler.Oberkurvenundmchertinp[J]gemeinenRn[M].C,Ottingen：D

9、ion,1918.[7]ZhongminShen,Two-DimensionalFinslerMetricswithConstantCurvature,toappearo[8]GluckH,ZillerWoOnthevolumeofaunitvectorfieldonthethreesphere[J]。CommMathHelv,1986,61:177-192[9]ZhouJW,HuangHoGeometryonGrassmannmanifoldsG(2,8)andG(3,8)[J]oMathJOkaya