概率论知识归纳

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1、期望公式：E(x)=-∞+∞xfxdx.二维随机变量的期望求法：EZ=EgX,Y=-∞+∞-∞+∞gx,yfx,ydxdy.数学期望的性质：（1）Ec=c，其中c为常数.（2）EcX=cEX.（3）EX1+X2=EX1+EX2.（4）Ei=1nXi=i=1nE(Xi)（5）若随机变量X与Y相互独立，则EXY=EXE(Y)（6）若X和Y相互独立，g(X)与h(Y)分别为X和Y的函数则EgXhY=E[gX]∙E[hY]方差：DX=E{[X-EX]2计算公式：DX=EX2-[EX]2方差的性质：1、若C常数则它的方差为02、若a，b为常数，X

2、为随机变量，则DaX+b=a2D(X)3、若随机变量X和Y相互独立，则DX+Y=DX+D(Y)4、如果随机变量X1，X2，X3，Xn相互独立，则D(i=1nXi)=i=1nD(Xi)常见的随机变量的期望和方差0-1分布的期望E(X)=p，方差D(X)=p(1-p)泊松分布参数为λ的泊松分布，期望E(X)=λ，方差D(X)=λ几何分布的参数为p，期望E(X)=1/p，D(X)=q/p^2均匀分布的期望E(X)=(a+b)/2，方差D(X)=(b-a)^2/12指数分布参数为λ，E(X)=1/λ，D(X)=1/λ^2正态分布的期望E(X)=

3、μ，方差D(X)=σ^2X服从参数为n，p的二项分布，E(X)=np离散型随机变量分布二项分布，几何分布，巴斯卡分布，超几何分布，泊松分布教材P36，P37，P38，P39（注意：几何分布的无记忆性）几何分布含义：首次成功在第n次巴斯卡分布含义：第r次成功发生在第k次连续性随机变量均匀分布，指数分布，正态分布，标准正态分布（教材P43—P47）注意：指数分布与泊松分布的λ为一个参数。注意：当n很大时，二项分布B(n,p)与泊松分布P(λ)(λ=np)几乎一样，可代替计算.注意教材P51页的Γ分布再生性：（可加性）：X与Y独立共同服从同种

4、类型的分布，若X+Y仍服从相同类型的分布，该分布具有再生性.具有再生性的：泊松分布，二项分布不具有再生性的：贝努力分布，几何分布，指数分布，均匀分布.注意教材P87的极大极小分布.称随机变量X的k次方的数学期望E(XK)为X的k阶原点矩称X—E(X)的k次方的期望E｛X-EX]2为X的k阶中心矩注意：二阶中心矩是方差的定义协方差Cov(X,Y)=E{[X—E(X)][Y—E(Y)]}计算公式：Cov(X,Y)=E(XY)—E(X)E(Y)协方差的基本性质对称性：Cov(X,Y)=Cov(Y,X)Cov(X,X)=D(X)若a，b为常数，

5、则Cov(aX,bY)=abCov(X,Y)若X与Y相互独立，则Cov(X,Y)=0Cov(X1+X2,Y)=Cov(X1,Y)+Cov(X2,Y).随机变量和的方差与协方差的关系：D(aX+bY)=a^2D(X)+b^2D(Y)+2abCov(X,Y)注意教材P109页的相关系数及其性质注意：Cov(X,Y)=0，等价于ρ=0，等价于不相关，等价于E(XY)=E(X)E(Y)，等价于D(X+Y)=D(X)+D(Y).（不相关是一个比独立要弱的概念）P74求(X,Y)落在区域G上的概率：P(X,YЄG=Gfx,ydxdy，是所有二维连续

6、随机变量求概率的唯一公式.求二维随机变量的密度函数教材P83基本步骤：1、将Z用X和Y表示2、要求密度函数先写出分布函数FZz=P(Z