概率论知识梳理

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1、中南大学概率论与数理统计复习讲义概率论部分知识梳理第一章随机事件与概率不妨先来看看这一章到底普及了些什么概念：1.随机事件：顾名思义，随机事件就是随机发生的事件，不过你认为教科书中岂会也像我这样白话文翻译遍就完事了吗？随机事件在一次试验中是否能够发生是不确定的，但是在大量重复试验的情况下，它的发生呈现出一种规律性。2.随机试验：很多孩子把随机事件与随机试验混为一谈，认为这是一个概念的两个说法罢了，这么想就大错特错了。事实上试验是比事件更宏观的一个概念，一个试验往往是包含很多个事件的。3.随机试验的

2、特点：相同条件下可以重复做（也就是这个实验一定是无论什么时间，什么地点，以及无论谁都可以做的）；试验结果可能不止一个，但试验前可以明确知道所有可能的结果；结果不可以预言。4.样本空间、样本点：随机事件E的所有可能的结果组成的集合称之为E的样本空间，样本空间里面的每一个点称之为样本点。5.事件的关系与运算：包含与相等，和与并，积与交，事件的差，事件互不相容，对立事件（逆事件），交换律，结合律，分配律，吸收律，对偶公式（德摩根律），文氏图，完备事件组。1中南大学概率论与数理统计复习讲义6.德摩根律：交

3、补补并，并补补交（交集的补集是补集的并集，并集的补集是补集的交集）。7.频率与概率：不用太多的篇幅去解释这两个即便解释了你也不会去看的概念，一句话总结：频率捉摸不定，概率确定唯一。8.概率的公理化定义：这个定理逼格可高了，以至于你一眼看去感觉是然并卵，之后会详细说明为什么教科书中会放一个这样的定义进来，值得注意的是定理中的三个性质：非负性；规范性；可列可加性。9.概率公理化定义的注解：数学上所说的“公理”就是一些不加证明而承认的前提，这个公理化定理只是界定了概率这个概念所必须满足的一些性质，它并不

4、解决具体场合下的概率计算问题，但是我们常常可以用它来判断某事件函数P是否是概率。10.概率的加法公式：PA(B)PA()PB()PA(B)。这个公式重要的并不是它本身，而是：PA(BC)PA()PA(B)PA(BC)。更加重要的是当事件数量更多的时候如何处理。一句话总结：加多了减，减多了加。11.概率的减法公式：P(A－B)＝P(A)－P(AB)P(A-B)=P(A)-P(AB)，当BA时，P(A-B)=P(A)-P(B)，当A=Ω时，P(B)=1-P(B)。2中南

5、大学概率论与数理统计复习讲义12.概率的古典定义与几何定义：这两者的区别大致可以用样本数量是有限还是无穷来区分，值得注意的是，几何定义派生出了考试经典陷阱：概率为0的事件不一定是不可能事件，概率为1的事件不一定是必然事件。13.条件概率：在事件B已经发生的条件下，求事件A发生的概率，记PAB()为:PBA()。条件概率的几个性质尤其注意：非负性；规范性；可列PA()可加性。看到这三个性质，想到什么了吗？没错就是概率的公理化定义，条件概率符合这三个条件，因而概率的性质完全适用于条件概率，条件概率无

6、非就像是一个装了一个极具个性的手机壳的手机罢了。14.乘法定理：聪明的孩子立刻会发现这个公式不就是条件概率公式的简单变形吗？没错，但是教材把它拿出来可绝对不是在给你复习小学数学中的移项问题，编者是在向你灌输一种思想，A与B同时发生的概率等同于B在A先发生了的条件下发生的概率，等同于A在B先发生了的条件下发生的概率。更重要的是这种思想容易递推，因而课本上那个有n个事件的公式也很容易瞬间写出了，不信你写写看！值得注意的是，概率论中每出现了一个新的公式，你都要学会试着将这个公式和之前学过的公式联立起来，

7、渐渐你会发现随着学的东西多了，很多量的求解途径一下宽广了许多了。【注】：事情的发生往往先后顺序明显时用此公式。15.样本空间的划分（完备事件组）：学会分类是很重要的，我们在处理复杂问题的3中南大学概率论与数理统计复习讲义很容易想到的就是去把模糊的背景分类细化成清晰的模块。同样在解决较为复杂的概率问题时，能够将所涉及的复杂事件分解为简单事件之和，且这种分解是符合数学逻辑的，能为处理概率论问题带来方便。于是有了样本空间的划分这一概念。划分出来的事件有如下特性：并集是原事件，两两交集为空集。16.完备事

8、件组的选择：从完备事件组的定义可以知道，划分可以有无限种可能，但是往往实际问题中只有一种是能为解决问题提供帮助的，故关键是要找到合适的完备事件组。n17.全概率公式：P（A）=P（Bi）P(ABi)，很多问题中，P(A)不容易求出，但却i1容易找到一个完备事件组，且P(Bi)和P(A

9、Bi)为已知或者容易求得，因此求算一个事件的概率的途径又多了一条。其实全概率公式精华之处并不在其本身，而是推导过程以及思想。pABPB()iiPBA()in18.贝叶斯公式：，贝叶斯公式主要