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时间:2020-01-11
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1、复数在初等数学中的应用摘要:本文介绍了复数的一些基本概念、性质、运算等。利用复数的性质来解决初等数学的基本问题,例如代数、几何向量等。一方面可以强化概念、揭示概念的内涵,准确把握概念之间的关系,透彻理解定理的条件;另一方面有助于培养学生的逆向思维能力,更有助于培养学生的数学技能。关键字:共轭复数;复数的模;复平面;复数方程分数的引入,解决了在自然数集中不能整除的矛盾。负数的引入,解决了在正有理数集中不够减的矛盾。无理数的引入,解决了开方开不尽的矛盾。在实数集范围内,负数不能开平方,我们要引入什么数,才能解决这个矛盾呢?实
2、际上,早在16世纪时期,数学家们就已经解决了这个矛盾,而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实的数,就称为虚数单位,英文译名为imaginarynumberunit.所以,用“i”来表示这个新数。引入的新数必须满足一定的条件,才能进行相关的运算,虚数单位i应满足什么条件呢?规定它的平方等于-1,即因此出现了形如()的数。它就是我们所说的复数。一、复数的有关概念1、虚数单位i(1)它的平方等于,即;(2)实数可以与它进行四则运算,进行四则运算时,原有的加、乘法运算仍然成立,即满足交换律与结合律.i的乘方:,它们不超出
3、的形式2、复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成,实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部,1与i分别是实数单位和虚数单位,当b=0时,a+bi就是实数,当b≠0时,a+bi是虚数,其中a=0且b≠0时称为纯虚数。应特别注意,a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件,若a=b=0,则a+bi=0是实数。3、根据两个复数相等的定义,设a,b,c,d∈R,两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小,只能由定义判断它们相等或不相等。两个复数相当的定义实际上给出了将
4、复数问题转化为实数问题的方法,是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。4、复数a+bi的共轭复数是a-bi,若两复数是共轭复数,则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0,则实数a与实数a共轭,表示点落在实轴上。性质:;;;5、在复平面内,复数对应点,点Z到原点的距离叫做复数z的模,记作.由定义知,二、复数的表示1、代数形式。实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部2、几何形式。复数z=a+bi被复平面上的点z(a,b)唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。3、向量形式。
5、复数用一个以原点O为起点,点Z(a,b)为终点的向量表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。4、三角形式。复数化为三角形式式中),是复数的模(即绝对值)θ是以x轴为始边,射线OZ为终边的角,叫做复数的辐角,辐角的主值记作这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。5、指数形式。将复数的三角形式中的换为,复数就表为指数形式。三、复平面及复数的坐标表示1、复平面在直角坐标系里,点z的横坐标是,纵坐标是,复数可用点来表示,这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面,x轴为实轴,y轴出去原点的部分称为虚轴.2、复数的
6、坐标表示点3、复数的向量表示向量.4、复数的模在复平面内,复数对应点,点Z到原点的距离叫做复数z的模,记作.由定义知,.四、复数的运算1、加法.几何意义:设对应向量,对应向量,则对应的向量为.因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释.2、减法.几何意义:设对应向量,对应向量,则对应的向量为.表示、两点之间的距离,也等于向量的模.3、乘法4、乘方5、除法6、复数运算的常用结论(1),(2),(3),(4),,,.(5),(6)(7),,7、复数的平方根与立方根(1)平方根若,则是的一个平方根,也是的平方根.(1的平方
7、根是.)(2)立方根如果复数、满足,则称是的立方根.1的立方根:.,,。.的立方根:五、复数方程1、常见图形的复数方程(1)圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)设以为圆心,为半径的圆上任意一点(,为常数),表示以点为圆心,为半径的圆(1)线段的中垂线:(其中分别对应点)(2)椭圆的定义:平面内与两定点Z1,Z2的距离的和等于常数(大于)的点的集合(轨迹)设是以为焦点,2a为长轴长的椭圆的上任意一点,(其中且),表示以对应的点F1、F2为焦点,长轴长为的椭圆(3)双曲线的定义:平面内与两定点Z1,Z2的距
8、离的差的绝对值等于常数(小于)的点的集合(轨迹)设是以为焦点,2a为实轴长的双曲线的上任意一点,(其中且),表示以对应的点F1、F2为焦点,实轴长为下面请看复数在初等数学中代数、几何、向量中的一些应用代数方面1、求方程的实数解。解:在复平面上方程的解,是以(2,0)为圆心,3为半径的园。此圆与实轴的交点是(-1,0)
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