复数的应用

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1、复数在初等数学中的应用摘要：本文介绍了复数的一些基本概念、性质、运算等。利用复数的性质来解决初等数学的基本问题，例如代数、几何向量等。一方面可以强化概念、揭示概念的内涵，准确把握概念之间的关系，透彻理解定理的条件；另一方面有助于培养学生的逆向思维能力，更有助于培养学生的数学技能。关键字：共轭复数；复数的模；复平面；复数方程分数的引入，解决了在自然数集中不能整除的矛盾。负数的引入，解决了在正有理数集中不够减的矛盾。无理数的引入，解决了开方开不尽的矛盾。在实数集范围内，负数不能开平方，我们要引入什么数，才能解决这个矛盾呢？实

2、际上，早在16世纪时期，数学家们就已经解决了这个矛盾，而且形成了一整套完整的理论。因为这个新数不是实的数，就称为虚数单位，英文译名为imaginarynumberunit.所以，用“i”来表示这个新数。引入的新数必须满足一定的条件，才能进行相关的运算，虚数单位i应满足什么条件呢？规定它的平方等于-1，即因此出现了形如（）的数。它就是我们所说的复数。一、复数的有关概念1、虚数单位i（1）它的平方等于，即；（2）实数可以与它进行四则运算，进行四则运算时，原有的加、乘法运算仍然成立，即满足交换律与结合律．i的乘方：，它们不超出

3、的形式2、复数a+bi(a,b∈R)由两部分组成，实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部，1与i分别是实数单位和虚数单位，当b=0时，a+bi就是实数，当b≠0时，a+bi是虚数，其中a=0且b≠0时称为纯虚数。应特别注意，a=0仅是复数a+bi为纯虚数的必要条件，若a=b=0，则a+bi=0是实数。3、根据两个复数相等的定义，设a,b,c,d∈R，两个复数a+bi和c+di相等规定为a+bi=c+di.由这个定义得到a+bi=0.两个复数不能比较大小，只能由定义判断它们相等或不相等。两个复数相当的定义实际上给出了将

4、复数问题转化为实数问题的方法，是求复数值、在复数集中解方程得重要依据。4、复数a+bi的共轭复数是a－bi，若两复数是共轭复数，则它们所表示的点关于实轴对称。若b=0，则实数a与实数a共轭，表示点落在实轴上。性质：；；；5、在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，二、复数的表示1、代数形式。实数a与b分别称为复数a+bi的实部与虚部2、几何形式。复数z=a+bi被复平面上的点z(a，b)唯一确定。这种形式使复数的问题可以借助图形来研究。也可反过来用复数的理论解决一些几何问题。3、向量形式。

5、复数用一个以原点O为起点，点Z(a，b)为终点的向量表示。这种形式使复数四则运算得到恰当的几何解释。4、三角形式。复数化为三角形式式中)，是复数的模(即绝对值)θ是以x轴为始边，射线OZ为终边的角，叫做复数的辐角，辐角的主值记作这种形式便于作复数的乘、除、乘方、开方运算。5、指数形式。将复数的三角形式中的换为，复数就表为指数形式。三、复平面及复数的坐标表示1、复平面在直角坐标系里，点z的横坐标是，纵坐标是，复数可用点来表示，这个建立了直角坐标系来表示复数的平面叫做复平面，x轴为实轴，y轴出去原点的部分称为虚轴．2、复数的

6、坐标表示点3、复数的向量表示向量．4、复数的模在复平面内，复数对应点，点Z到原点的距离叫做复数z的模，记作．由定义知，．四、复数的运算1、加法．几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．因此复数的和可以在复平面上用平行四边形法则解释．2、减法．几何意义：设对应向量，对应向量，则对应的向量为．表示、两点之间的距离，也等于向量的模．3、乘法4、乘方5、除法6、复数运算的常用结论(1)，(2)，(3)，(4)，，，．(5)，(6)(7)，，7、复数的平方根与立方根（1）平方根若，则是的一个平方根，也是的平方根．（1的平方

7、根是．）（2）立方根如果复数、满足，则称是的立方根．1的立方根：．，，。．的立方根：五、复数方程1、常见图形的复数方程（1）圆的定义:平面内到定点的距离等于定长的点的集合(轨迹)设以为圆心，为半径的圆上任意一点（，为常数），表示以点为圆心，为半径的圆（1）线段的中垂线：（其中分别对应点）（2）椭圆的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距离的和等于常数(大于)的点的集合(轨迹)设是以为焦点，2a为长轴长的椭圆的上任意一点,（其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，长轴长为的椭圆（3）双曲线的定义:平面内与两定点Z1，Z2的距

8、离的差的绝对值等于常数(小于)的点的集合(轨迹)设是以为焦点，2a为实轴长的双曲线的上任意一点,（其中且），表示以对应的点F1、F2为焦点，实轴长为下面请看复数在初等数学中代数、几何、向量中的一些应用代数方面1、求方程的实数解。解：在复平面上方程的解，是以（2，0）为圆心，3为半径的园。此圆与实轴的交点是（-1,0）