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1、专题二：函数、基本初等函数的图象与性质【知识链接】一、函数的有关概念：设A,B非空的集合，如果按照某种确定的对应关系/使对于集合A中的任何一个数兀，在集合B中都有唯--确定的是/(%)和它对应，那么就称/：ATB为从集合A到集合B的一个函数。'定义域1.函数的三要素：值域对应法则2.函数相等：如果两个函数的定义域和对应法则完全一致，则这两个函数相等。'列表法3.函数的表示法：《图像法关系式法4.函数的定义域：①分式的分母不为0②根式的被开方数大于或等于0③对数的真数人于0,底数人于0且不等于1④零次幕的底数不等于0T
2、T⑤三角隊I数中的正切y=tan%；兀工上r+—伙wZ)⑥已知函数/(兀)的定义域为D,求函数f[g(x)的定义域，只需g(x)eD⑦已知函数f[g(x)]的定义域，求函数/(尢)的定义域，只需XE{yy=g(x)},即g(x)的值域。单调性二、函数的基本性质奇偶性周期性注意:①若f(x+a)=/(x),则/(力是周期为a的周期函数;若f(x+a)=-f(x)则于(兀)是周期为2°的周期函数；若门兀+。)=丄(GH0)恒成立，则/(X)是周期为2d的周期函数；若f(x+a)=-一(a丰0)恒成立，则/(%)是周期为
3、la的周期函数。②若函数y=/(x)冇两条对称轴x=a,x=b(a^b)9则y=/(x)必是周期函数，H•周期为a-b③若y=/(x)图像有两个对称中心A(a,0),B(O0)(aHb),则y=f(x)是周期函数,且周期为T=2a-b④若y=/(x)的图像何一条对称屮心A(d,O)和一条对称轴x=b(a^b),则函数必是周期函数目周期为T=4a-h⑤若/(X+-X),则函数/(X)的图像关于X=凹轴对称。⑥/(G+灯=-f(h-X),则函数/(X)的图像关于〃(凹,0)中心对称。⑦复合函数的单调性满足“同增界减”，即两
4、个简单函数的单调性相同，则这两个函数的复合函数为增函数，若两个简单函数的单调性相反，则这两个函数的复合函数为减函数。⑧奇函数在关于原点对称的区间上的单调性相同，偶函数在关于原点对称的区间上的单调性相反⑨两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的奇是偶函数两个偶函数的和、积是偶函数一个奇函数、一个偶函数的奇是奇函数三、指数函数定义：形如/的函数叫做指数函数。图像：①a>l性质：当x>0时，y>l当xvO吋，Ovyvl在定义域R上是增函数②a<性质：当兀>0时，Ovyvl当x<0时，y>1在定义域R上是减函数注意：指数函数图形
5、过点(0,1)符合底大图像高。四、对数函数y=logax1.对数的性质与运算法则:①Rog“N=W；log/N=/V；log‘，G=g(Q>O,Ji-dHl)②换底公式log“b=®Mlogcd③对数的四则运算法则：oga(MN)=ogaM+log“NMlog“亓io艮M-lo«NogaMn=nogaMnlogMn=—logaMm1.对数函数的图像与性质图像：®a>性质：当兀>1时，y>0当0vxv1时，y<0在定义域(0,+oo)上是增函数②Ovavl性质：当x>lit,y<0当0v兀v1时，y>0在定义
6、域(0,+oo)上是减函数注意：①指数函数y=b与对数函数y=logdx互为反函数，它们的图像关于直线y=兀对称②对数函数的图像过点(1,0)符合底大图像低。五、幕函数：y=f1.幕函数的图像与性质：性质：在笫一彖限内单调递减，图像是向下凸的注意：①所有的幕函数在第一彖限都有定义②当Q>0时，幕函数过点(0,0)与点(1,1),函数在第一彖限为增函数。③当av0吋，幕函数过点(1,1),函数在第一•象限为减函数。④幕函数的图像在(l,+oo)±符合指人图像高(指数越人，图像越远离兀轴)⑤幕函数的图像一定会出现在第一象限
7、，一定不会出现在第四彖限，至于能否出现在第二、第三彖限内，要看函数的奇偶性。如果幕函数的图像与坐标轴相交，则交点一定是原点。六、函数的变换：1.平移变换：①y二/(x)的图像向左平移a(a>0)个单位得到函数y=/(x+tz)的图像；向右平移a(a>0)个单位长度得到函数y=f(x-a)的图像(即左加右减)②对于上下平移，原则是上加下减2.对称变换：①y=/(x)的图像关于X轴的对称为y=/(-x)；关于y轴对称^jy=-f(x):关于原点对称为y=-f(-x)；关于直线y二x对称为y=厂'(%)②y=f(x)的图
8、像：可将y=/(x)的图像在x轴下方的部分关于x轴对称，其余部分不变③y=的图像：可将y=/(兀)的图像在y轴右方的部分关于y轴对称，其余部分不变3.伸缩变换:①y二/(x)图像上所有点的横处标不变，纵处标变为原來的A被得y二Af(x)②y=/(兀)图像上所有点的纵坐标不变，横坐标变为原来的丄得y=/(做)a七、函数的值域和最值、
