“四点共圆”在解题中的妙用

《“四点共圆”在解题中的妙用》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、“四点共圆”在解题中的妙用众所周知，在同一个圆中，相等（相同）的弧（弦）所对的圆周角相等；相等（相同）的弧（弦）所对的圆心角相等；四个顶点在同一个圆的四边形（圆内接四边形）对角互补，任一内角的外角等于其内角的对角，。巧妙运用这一知识点可轻松解决一些角度的等量代换及比例问题。通常我们判定平面上的四个点是否在同一个圆上所用的模型有以下几种：（1）两个直角三角形的斜边为同一个；（2）同一个线段所对的角相等（图中的角度为随意给出，表示两个角相等）；（3）四边形对角互补（图中的角度为随意给出，表示对角互补）。【例1】在△ABC中，BD⊥AC于点D，CE⊥AB于点E，连接ED。求证：△ABC∽△ADE。【

2、解析】∵BD⊥AC，CE⊥AB，∴B、C、D、E四点共圆，∴∠AED=∠ACB，∠ADE=∠ABC，故△ABC∽△ADE。【例2】如图，已知△PAB中，PA=PB，∠APB=2∠ACB，PD=3，PB=4，求AD·DC的值。【解析】因为∠APB=2∠ACB，故作∠APB的角平分线可获得与∠ACB相等的角，从而利用四点共圆和角平分线定理可解此题。如图，作∠APB的角平分线PM，交AD于点M，则∠MPD=∠ACB，故B、C、P、M四点共圆。∴MD·DC=PD·DB=3·（4-3）=3；∵PM平分∠APD，根据角平分线定理：AP∶PD=AM∶MD=4∶3，“四点共圆”在解题中的妙用（二）【例3】如图

3、，已知△ABC内接于⊙O，AB=AC，点P、Q分别为CA、AB延长线上的点，且AP=BQ。求证：O、A、P、Q四点共圆。【解析】如图，连接OA、OB、OP、OQ。（只要证明∠P=∠Q就行了）∵AB=AC，∴∠BAO=∠CAO=∠ABO，∴∠QBO=∠PAO，在△QBO和△PAO中：∵∠QBO=∠PAO，OB=OA，BQ=AP∴△QBO≌△PAO∴∠P=∠Q，即O、A、P、Q四点共圆。【例4】如图，点P是⊙O外一点，PA切⊙O于点A，PBC是⊙O的割线，AD⊥PO于点D，连接BD。求证：PC∶CD=PB∶BD。【解析】（比例关系容易让人想到相似三角形，故需构建与需证线段相关的相似三角形）连接OB

4、、OC、OA。则OA⊥PA，又AD⊥PO，根据射影定理：PA²=PD·PO；根据切线定理：PA²=PB·PC，∴PD·PO=PB·PC，故△PBD∽△POC；∴∠PDB=∠PCO，即∠BCO+∠BDO=180º，∴点B，C，O，D四点共圆，∴∠POB=∠PCD，又∠CPO=∠DPB，故△PBO∽△PDC，∴PC∶CD=PO∶OB=PO∶OC；由△PBD∽△POC，知：PB∶BD=PO∶OC，∴PC∶CD=PB∶BD。【注】此题可以得出一个推理：如果点B、C分别是射线PA、PD上的点，且PA·PB=PC·PD，则点A、B、C、D三点共圆。“四点共圆”在解题中的妙用（三）【例5】如图，在⊙O中，弦

5、AB⊥弦CD于点E，弦AG⊥弦BC于点F，连接EF，CD与AG相交于点M，则下列结论：①弧BD=弧BG；②DE=ME；③∠ACD=∠AFE；④AF=BF。其中正确结论的序号是（                ）。【解析】填①②③。①，∵AB⊥CD，AG⊥BC，∴A、C、F、E四点共圆；∴∠FCE=∠FAE，即∠BCD=∠BAG，∴弧BD=弧BG，故①正确；②，连接AD，如图。由①弧BD=弧BG，∴∠BAD=∠BAG，又AE⊥DM，根据“三线合一”定理，△ADM为等腰三角形，DE=ME，故②正确；③，∵A、C、F、E四点共圆，∴∠ACD=∠AFE，故③正确；④，如果AF=BF，则∠ABC=45º

6、，而∠ABC的度数显然不是定值，故④错误。综上所述，正确的为：①②③。【例6】如图，已知正方形ABCD，CD=√2，若点P满足PD=1，且∠BPD=90 º，求点A到BP的距离。【解析】如图，当∠BPD=90 º时，点P为以D为圆心，1为半径的圆上，且点BP为圆D的切线，点P为切点。（1）当点P在BD上方时（如图1），过点 A作AF⊥AP，交BP于点F，过点 A作AM⊥BP于点M。∵∠BPD=∠BAD=90 º，∴B、A、P、D四点共圆，∠PDA=∠ABP，∠PAD=90º-∠FAD，∠BAF=90º-∠FAD，∴∠PAD=∠BAF。在△PAD和△FAB中：∠PDA=∠ABP，∠PAD=∠BA

7、F，AD=AB，∴△PAD≌△FAB，∴AP=AF，FB=PD=1；∵CD=√2，∴BD=2，BP=√3，PF=√3-1，AM=（√3-1）/2；（2）当点P在BD下方时（如图2），过点 A作AG⊥AP，交PB延长线于点G，过点 A作AM⊥BP于点M。∵∠BPD=∠BCD=90 º，∴B、C、P、D四点共圆，∠PDC=∠PBC；∠PAD=90º-∠PAB，∠BAG=90º-∠PAB，∴∠PAD=∠