对称问题讲义(学生)

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1、二直线中的几类对称问题预习：点关于轴的对称点的坐标为；关于轴的对称点的坐标为；关于（0，0）的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为；关于的对称点的坐标为.直线关于轴的对称的直线方程为；关于轴的对称的直线方程为；关于（0，0）的对称的直线方程为；关于的对称的直线方程为；关于的对称的直线方程为.新课对称问题，是解析几何中比较典型，高考中常考的热点问题.对于直线中的对称问题，我们可以分为：点关于点的对称；点关于直线的对称；直线关于点的对称，直线关于直线的对称.本文通过几道典型例题，来介绍这几类对称问题的求解策略.一、点关于点的对称问题点关于点的对称问题，是对

2、称问题中最基础最重要的一类，其余几类对称问题均可以化归为点关于点的对称进行求解.熟练掌握和灵活运用中点坐标公式是处理这类问题的关键.例1求点A（2，4）关于点B（3，5）对称的点C的坐标.分析易知B是线段AC的中点，由此我们可以由中点坐标公式，构造方程求解.-4-总结：(1)关于点(a,b)对称的问题点关于点的对称点是二、点关于直线的对称问题点关于直线的对称问题是点关于点的对称问题的延伸，处理这类问题主要抓住两个方面：①两点连线与已知直线斜率乘积等于-1，②两点的中点在已知直线上.例2求点A（1，3）关于直线l：x+2y-3=0的对称点A′的坐标.分析

3、因为A，A′关于直线对称，所以直线l是线段AA′的垂直平分线.这就找到了解题的突破口.总结：点关于的对称点是点关于的对称点是点关于对称的点为点三、直线关于某点对称的问题直线关于点的对称问题，可转化为直线上的点关于某点对称的问题，这里需要注意到的是两对称直线是平行的.我们往往利用平行直线系去求解.例3求直线2x+11y+16=0关于点P（0，1）对称的直线方程.分析本题可以利用两直线平行，以及点P到两直线的距离相等求解，也可以先在已知直线上取一点，再求该点关于点P的对称点，代入对称直线方程待定相关常数.总结：曲线关于点的对称曲线是特别的，曲线关于原点的对

4、称直线是四、直线关于直线的对称问题-4-直线关于直线对称问题，包含有两种情形：①两直线平行，②两直线相交.对于①，我们可转化为点关于直线的对称问题去求解；对于②，其一般解法为先求交点，再用“到角”(未学)，或是转化为点关于直线对称问题.例4求直线l1：x-y-1=0关于直线l2：x-y+1=0对称的直线l的方程.分析由题意，所给的两直线l1，l2为平行直线，求解这类对称总是，我们可以转化为点关于直线的对称问题，再利用平行直线系去求解，或者利用距离相等寻求解答.例5试求直线l1：x-y-2=0关于直线l2：3x-y+3=0对称的直线l的方程.分析两直线相

5、交，可先求其交点，再利用到角公式求直线斜率.总结：曲线关于的对称的对称曲线是曲线关于对称曲线是曲线关于对称曲线为特别的，曲线关于的对称曲线为曲线关于的对称曲线为曲线关于直线的对称曲线为课后训练1、直线关于点对称的直线方程是2、（北京）若直线：与直线的交点位于第一象限，则直线的倾斜角的取值范围是3、（全国文）直线关于轴对称的直线方程为-4-4、(安徽春)已知直线：，：.若直线与关于对称，则的方程为5、求点关于直线：的对称点的坐标6、已知：与，是对称的两点，求对称轴的方程7、光线沿直线：射入，遇到直线：反射，求反射光线所在的直线的方程8、已知点，，试在直线

6、：上找一点，使最小，并求出最小值.-4-