高考数学对称问题讲义

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1、高三第一轮复习数学---对称问题一、教学目标：掌握求对称曲线的常用思想方法二、教学重点：掌握求对称曲线的常用思想方法三、教学过程：（一）主要知识：1、点关于点的对称点(x,y)关于点(a,b)的对称点的坐标为(2a-x,2b-y)事实上，点关于点的对称的对称中心恰恰是这两点为端点的线段的中点，因此中心对称的问题是线段中点坐标公式的应用问题。2、点关于直线的对称点由轴对称定义知，对称轴即为两对称点连线的“垂直平分线“，利用”垂直“和”平分“这两个条件建立方程组，就可求出对称点的坐标，一般地：设点(x0,y0)关于直线Ax+By+c=0的对称点(x’,y’)，则

2、3、曲线关于点（中心），直线（轴）的对称问题的一般思想是用代入转移法。（1）曲线f(x,y)=0关于点A(a,b)的对称曲线的方程是f(2a-x,2b-y)=0（2）曲线f(x,y)=0关于直线Ax+By+c=0的对称曲线的求法：设所求曲线上任一点P(x,y)关于直线Ax+By+c=0对称点P0(x0,y0)，在已知曲线f(x,y)=0上，满足f(x0,y0)=0，利用方程组，解得x0,y0，代入f(x0,y0)=0，从而得对称曲线方程。4、常用的对称关系点(a,b)关于x轴的对称点(a,-b)，关于y轴的对称点为(-a,b)，关于原点的对称点(-a,-b)

3、关于直线y=x的对称点为(b,a)，关于直线y=-x的对称点(-b,-a)，关于直线y=x+m的对称点为(b-m,a+m),关于直线y=-x+m的对称点(m-b,m-a).（二）例题分析：[对称问题]例1．（1）直线关于定点对称的直线方程是（）。。。。解：设点关于的对称点为，则，。∴即：，故选B。【思维点拨】掌握点关于点对称的求法。（2）若以直线为对称轴，求直线的轴对称图形的方程。解法一：设是所求对称直线上一点，关于直线的对称点必在上，，解得又∵在上，∴，即的方程是。解法二：可把看作到的角平分线。设、、的斜率分别为、、，则，，由得。又与的交点为，所以的方程是

4、：，即。【思维点拨】由平面几何知识可知，若、关于对称，则应有下列几何性质：（1）若与相交，则是、交角的平分线；若与平行，则∥，且、与距离相等。（2）点直线上，则点关于的对称一定在直线上，并且的中点在上。（3）设是所求直线上一点，则为关于的对称点的坐标适合的方程。练习：变式1：直线l:ax+by+c=0关于原点对称的直线方程为ax+by-c=0变式2、已知直线l1:x+my+5=0和直线l2:x+ny+P=0，则l1:l2关于y轴对称的充要条件是()A、B、p=-5C、m=-n且p=-5D、且p=-5[对称问题应用]例2：[考例3]直线2x+3y-6=0交x、

5、y轴于A、B两点，试在直线y=-x上求一点P1，使最小，在y=x上求一点P2，使最大，求出两最值及值。解：A(3,0),B(0,2),点B关于y=-x的对称点B’(-2,0)直线AB’即x轴交y=-x于(0,0)即P1点又B关于y=x的对称点B’’(2,0),当且仅当P2,B’’,A共线（又在y=x上）即P2为直线B’’A（即x轴）与y=x的交点(0,0)时，最大为1，故P1，P2重合。=0思维点拨：利用三角形两边这和大于第三边或两边之差小于第三边，解决在直线上求一点到两定点距离之和最上或到定点距离之差为最大的问题。练习：变式3、已知点M(3,5)，在直线l

6、:x-2y+2=0和y轴上各找一点P和Q，使的周长最小，解：可求得M关于l的对称点M1(5,1),关于y轴的对称点M2(-3,5)，求得直线M1M2:x+2y-7=0与l及y轴的交点分别是例3、（变式4）一条光线经过P(2,3)点，射在直线l：x+y+1=0上，反射后穿过点Q(1,1)（1）求入射光线所在的直线方程（2）求这条光线从P到Q的长度。解：(1)设Q(1,1)关于l：x+y+1=0的对称点Q’(x,y)，易证Q’(-2,-2)入射光线所在直线方程，即5x-4y+2=0（2）l是QQ’的垂直平分线，因而即为所求思维点拨：由物理中光学知识，入射光线和反

7、射光线关于法线对称转化为对称问题。例4．已知椭圆方程为，试确定实数的取值范围，使得椭圆上有不同的两点关于直线对称。解法一：设、是椭圆上关于直线对称的相异的两点，中点为。则有由点差法得，所以，点坐标为。而是中点，∴点在椭圆内部。∴。解得。解法二：该问题等价于存在直线，使得这直线与椭圆有两个不同的交点、，线段的中点落在直线上。由消去得∵直线与椭圆有两个不同交点。∴①由韦达定理得：，。故中点为又在直线上∴，∴②由①②知四、小结：1.对称问题分为点对称及轴对称，点对称仅用中点坐标公式即可，轴对称因对称点连线的中垂线就是对称轴，根据中点坐标公式及斜率的关系即可解决。特

8、别是关于原点对称、坐标轴对称，直线对称都要熟练掌握。