高考数学对称问题知识总结.docx

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1、【高考数学对称问题知识总结】高考数学知识点总结　　对称问题是高中数学的重要内容之一，在高考数学试题中常出现一些构思新颖解法灵活的对称问题，为使对称问题的知识系统化。下面xx给大家带来高考数学对称问题知识，希望对你有帮助。　　高考数学对称问题知识　　一、点关于已知点或已知直线对称点问题　　1、设点P关于点对称点为P′。　　x′=2a-x　　由中点坐标公式可得：y′=2b-y　　2、点P关于直线L：Ax+By+C=O的对称点为　　x′=x-　　P′则　　y′=y-　　事实上：∵PP′⊥L及PP′的中点在直线L上，可得：Ax′+By′=-Ax-By-2

2、C　　解此方程组可得结论。　　=-1　　特别地，点P关于　　1、x轴和y轴的对称点分别为和　　2、直线x=a和y=a的对标点分别为和　　3、直线y=x和y=-x的对称点分别为和　　例1光线从A发出后经过直线x-2y=0反射，再经过y轴反射，反射光线经过点B，求射入y轴后的反射线所在的直线方程。　　解：如图，由公式可求得A关于直线x-2y=0的对称点　　A′，B关于y轴对称点B′为，直线A′B′的方程为5x+6y-25=0　　`C　　`直线BC的方程为：5x-6y+25=0　　二、曲线关于已知点或已知直线的对称曲线问题　　求已知曲线F=0关于已知点

3、或已知直线的对称曲线方程时，只须将曲线F=O上任意一点关于已知点或已知直线的对称点的坐标替换方程F=0中相应的作称即得，由此我们得出以下结论。　　1、曲线F=0关于点的对称曲线的方程是F=0　　2、曲线F=0关于直线Ax+By+C=0对称的曲线方程是F，y-)=0　　特别地，曲线F=0关于　　x轴和y轴对称的曲线方程分别是F和F=0　　关于直线x=a和y=a对称的曲线方程分别是F=0和F=0　　关于直线y=x和y=-x对称的曲线方程分别是F=0和F=0　　除此以外还有以下两个结论：对函数y=f的图象而言，去掉y轴左边图象，保留y轴右边的图象，并作

4、关于y轴的对称图象得到y=f的图象;保留x轴上方图象，将x轴下方图象翻折上去得到y=

5、f

6、的图象。　　例2设曲线C的方程是y=x3-x。将C沿x轴y轴正向分别平行移动t，s单位长度后得曲线C1：　　1)写出曲线C1的方程　　2)证明曲线C与C1关于点A对称。　　解知C1的方程为y=3-+s　　证明在曲线C上任取一点B，设B1是B关于A的对称点，由a=t-a1，b=s-b1，代入C的方程得：　　s-b1=3-　　`b1=3-+s　　`B1满足C1的方程　　`B1在曲线C1上，反之易证在曲线C1上的点关于点A的对称点在曲线C上　　`曲线C和C1关于a

7、对称　　我们用前面的结论来证：点P关于A的对称点为P1，为了求得C关于A的对称曲线我们将其坐标代入C的方程，得：s-y=3-　　`y=3-+s　　此即为C1的方程，`C关于A的对称曲线即为C1。　　三、曲线本身的对称问题　　曲线F=0为对称曲线的充要条件是曲线F=0上任意一点P的对称点的坐标替换曲线方程中相应的坐标后方程不变。　　例如抛物线y2=-8x上任一点p与x轴即y=0的对称点p′，其坐标也满足方程y2=-8x，`y2=-8x关于x轴对称。　　例3方程xy2-x2y=2x所表示的曲线：　　A、关于y轴对称B、关于直线x+y=0对称　　C、关

8、于原点对称D、关于直线x-y=0对称　　解：在方程中以-x换x，同时以-y换y得　　2-2=-2x，即xy2-x2y=2x方程不变　　`曲线关于原点对称。　　函数图象本身关于直线和点的对称问题我们有如下几个重要结论：　　1、函数f定义线为R，a为常数，若对任意x∈R，均有f=f，则y=f的图象关于x=a对称。　　这是因为a+x和a-x这两点分别列于a的左右两边并关于a对称，且其函数值相等，说明这两点关于直线x=a对称，由x的任意性可得结论。　　例如对于f若t∈R均有f=f则f图象关于x=2对称。若将条件改为f=f或f=f结论又如何呢?第一式中令t

9、=1+m则得f=f;第二式中令t=2+m，也得f=f，所以仍有同样结论即关于x=2对称，由此我们得出以下的更一般的结论：　　2、函数f定义域为R，a、b为常数，若对任意x∈R均有f=f，则其图象关于直线x=对称。　　我们再来探讨以下问题：若将条件改为f=-f结论又如何呢?试想如果2改成0的话得f=-f这是奇函数，图象关于成中心对称，现在是f=-f造成了平移，由此我们猜想，图象关于M成中心对称。如图，取点A)其关于M的对称点为A′)　　∵-f=f`A′的坐标为)显然在图象上　　`图象关于M成中心对称。　　若将条件改为f=-f结论一样，推广至一般可得

10、以下重要结论：　　3、f定义域为R，a、b为常数，若对任意x∈R均有f=-f，则其图象关于点M成中心对称。　　高考数学得分技巧　　在三门