【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五 第3讲圆锥曲线中的热点问题

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1、第3讲　圆锥曲线中的热点问题【高考考情解读】　纵观近几年高考，解析几何是重要内容之一，所占分值在30分以上，大题小题同时有，除了本身知识的综合，还会与其它知识如向量、函数、不等式等知识构成综合题，多年高考压轴题是解析几何题.1.填空题主要考查圆锥曲线的几何性质，三种圆锥曲线都有可能涉及.2.在解答题中主要考查圆、直线、椭圆的综合问题，难度较高，还有可能涉及简单的轨迹方程和解析几何中的开放题、探索题、证明题，重点关注定点、定值及最值、范围问题．1．直线与圆锥曲线的位置关系(1)直线与椭圆的位置关系的判定方法：将直线方

2、程与椭圆方程联立，消去一个未知数，得到一个一元二次方程．若Δ>0，则直线与椭圆相交；若Δ＝0，则直线与椭圆相切；若Δ<0，则直线与椭圆相离．(2)直线与双曲线的位置关系的判定方法：将直线方程与双曲线方程联立，消去y(或x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①若a≠0，当Δ>0时，直线与双曲线相交；当Δ＝0时，直线与双曲线相切；当Δ<0时，直线与双曲线相离．②若a＝0时，直线与渐近线平行，与双曲线有一个交点．(3)直线与抛物线的位置关系的判定方法：将直线方程与抛物线方程联立，消去y(或

3、x)，得到一个一元方程ax2＋bx＋c＝0(或ay2＋by＋c＝0)．①当a≠0时，用Δ判定，方法同上．②当a＝0时，直线与抛物线的对称轴平行，只有一个交点．2．有关弦长问题有关弦长问题，应注意运用弦长公式及根与系数的关系，“设而不求”；有关焦点弦长问题，要重视圆锥曲线定义的运用，以简化运算．(1)斜率为k的直线与圆锥曲线交于两点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)，则所得弦长P1P2＝

4、x2－x1

5、或P1P2＝

6、y2－y1

7、，其中求

8、x2－x1

9、与

10、y2－y1

11、时通常使用根与系数的关系，即作如下变形：

12、x2－x

13、1

14、＝，

15、y2－y1

16、＝.(2)当斜率k不存在时，可求出交点坐标，直接运算(利用两点间距离公式)．3．弦的中点问题有关弦的中点问题，应灵活运用“点差法”，“设而不求法”来简化运算．4．轨迹方程问题(1)求轨迹方程的基本步骤：①建立适当的平面直角坐标系，设出轨迹上任一点的坐标——解析法(坐标法)．②寻找动点与已知点满足的关系式——几何关系．③将动点与已知点的坐标代入——几何关系代数化．④化简整理方程——简化．⑤证明所得方程为所求的轨迹方程——完成其充要性．(2)求轨迹方程的常用方法：①直接法：将几何关系直接翻译成代数

17、方程；②定义法：满足的条件恰适合某已知曲线的定义，用待定系数法求方程；③代入法：把所求动点的坐标与已知动点的坐标建立联系；④交轨法：写出两条动直线的方程直接消参，求得两条动直线交点的轨迹；(3)注意①建系要符合最优化原则；②求轨迹与“求轨迹方程”不同，轨迹通常指的是图形，而轨迹方程则是代数表达式．步骤②⑤省略后，验证时常用途径：化简是否同解变形，是否满足题意，验证特殊点是否成立等.考点一　曲线方程的求法及其简单应用例1　如图，在平面直角坐标系xOy中，已知圆B：(x－1)2＋y2＝16与点A(－1,0)，P为圆B上

18、的动点，线段PA的垂直平分线交直线PB于点R，点R的轨迹记为曲线C.(1)求曲线C的方程；(2)曲线C与x轴正半轴交点记为Q，过原点O且不与x轴重合的直线与曲线C的交点记为M，N，连结QM，QN，分别交直线x＝t(t为常数，且t≠2)于点E，F，设E，F的纵坐标分别为y1，y2，求y1·y2的值(用t表示)．解　(1)连结RA，由题意得RA＝RP，RP＋RB＝4，所以RA＋RB＝4>AB＝2，由椭圆定义，得点R的轨迹方程为＋＝1.(2)设M(x0，y0)，则N(－x0，－y0)，QM，QN的斜率分别为kQM，kQN

19、，则kQM＝，kNQ＝，所以直线QM的方程为y＝(x－2)，直线QN的方程为y＝(x－2)．令x＝t(t≠2)，则y1＝(t－2)，y2＝(t－2)，又点M(x0，y0)在椭圆＋＝1上，所以y＝3－x.所以y1·y2＝(t－2)2＝＝－(t－2)2，其中t为常数且t≠2.(1)求轨迹方程时，先看轨迹的形状能否预知，若能预先知道轨迹为圆锥曲线，则可考虑用定义法或待定系数法求解．(2)当曲线上动点的坐标受到另外一些点的坐标制约时，可以用相关点法，利用相关点法求解曲线方程需要注意两个方面：一是准确定位，即确定联动点，动点

20、的轨迹可能与多个动点相关，但要抓住与其一起联动的点；二是找准关系，即根据已知准确求出动点与其联动点的坐标之间的关系，然后代入联动点所在曲线方程求解．设F(1,0)，点M在x轴上，点P在y轴上，且＝2，⊥.(1)当点P在y轴上运动时，求点N的轨迹C的方程；(2)设A(x1，y1)，B(x2，y2)，D(x3，y3)是曲线C上的点，且

21、

22、，

23、

24、，

25、

26、成等差数列，