【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题五 第2讲

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1、第2讲　椭圆、双曲线、抛物线【高考考情解读】　高考对本节知识的考查主要有以下两种形式：1.以填空的形式考查，主要考查圆锥曲线的标准方程、性质(特别是离心率)，以及圆锥曲线之间的关系，突出考查基础知识、基本技能，属于基础题.2.以解答题的形式考查，主要考查圆锥曲线的定义、性质及标准方程的求解，常常在知识的交汇点处命题，有时以探究的形式出现，有时以证明题的形式出现．该部分题目多数为综合性问题，考查学生分析问题、解决问题的能力，综合运用知识的能力等，属于中、高档题．圆锥曲线的定义、标准方程与几何性质名称椭圆双曲线抛物线定义PF1＋PF2＝2a(2a>F1F2)

2、PF1

3、－PF2

4、＝2a(2ab>0)－＝1(a>0，b>0)y2＝2px(p>0)图形几何性质范围

5、x

6、≤a，

7、y

8、≤b

9、x

10、≥ax≥0顶点(±a,0)，(0，±b)(±a,0)(0,0)对称性关于x轴，y轴和原点对称关于x轴对称焦点(±c,0)(，0)轴长轴长2a，短轴长2b实轴长2a，虚轴长2b离心率e＝＝(01)e＝1准线x＝±x＝±x＝－渐近线y＝±x考点一　圆锥曲线的定义与标准方程例1　(1)设椭圆＋＝1和双曲线－x2＝1的公共焦点分别为F1、F2，P为这两条曲线的

11、一个交点，则PF1·PF2的值等于________．(2)已知直线y＝k(x＋2)(k＞0)与抛物线C：y2＝8x相交于A、B两点，F为C的焦点．若FA＝2FB，则k＝________.答案　(1)3　(2)解析　(1)焦点坐标为(0，±2)，由此得m－2＝4，故m＝6.根据椭圆与双曲线的定义可得PF1＋PF2＝2，PF1－PF2＝2，两式平方相减得4PF1PF2＝4×3，所以PF1·PF2＝3.(2)方法一　抛物线C：y2＝8x的准线为l：x＝－2，直线y＝k(x＋2)(k＞0)恒过定点P(－2,0)．如图，过A、B分别作AM⊥l于点M，BN⊥l于点N.由FA

12、＝2FB，则AM＝2BN，点B为AP的中点．连结OB，则OB＝AF，∴OB＝BF，点B的横坐标为1，故点B的坐标为(1,2)．∴k＝＝.方法二　如图，由图可知，BB′＝BF，AA′＝AF，又AF＝2BF，∴＝＝，即B是AC的中点．∴与联立可得A(4,4)，B(1,2)．∴kAB＝＝.(1)对于圆锥曲线的定义不仅要熟记，还要深入理解细节部分：比如椭圆的定义中要求PF1＋PF2＞F1F2，双曲线的定义中要求PF1－PF2＜F1F2，抛物线上的点到焦点的距离与到准线的距离相等的转化．(2)注意数形结合，提倡画出合理草图．(1)(2012·山东改编)已知椭圆C：＋＝1(

13、a>b>0)的离心率为.双曲线x2－y2＝1的渐近线与椭圆C有四个交点，以这四个交点为顶点的四边形的面积为16，则椭圆C的方程为________．(2)如图，过抛物线y2＝2px(p>0)的焦点F的直线交抛物线于点A，B，交其准线l于点C，若BC＝2BF，且AF＝3，则此抛物线的方程为________．答案　(1)＋＝1　(2)y2＝3x解析　(1)∵椭圆的离心率为，∴＝＝，∴a＝2b.∴椭圆方程为x2＋4y2＝4b2.∵双曲线x2－y2＝1的渐近线方程为x±y＝0，∴渐近线x±y＝0与椭圆x2＋4y2＝4b2在第一象限的交点为，∴由圆锥曲线的对称性得四边形在第

14、一象限部分的面积为b×b＝4，∴b2＝5，∴a2＝4b2＝20.∴椭圆C的方程为＋＝1.(2)如图，分别过A，B作AA1⊥l于A1，BB1⊥l于B1，由抛物线的定义知，AF＝AA1，BF＝BB1，∵BC＝2BF，∴BC＝2BB1，∴∠BCB1＝30°，∴∠AFx＝60°.连结A1F，则△AA1F为等边三角形，过F作FF1⊥AA1于F1，则F1为AA1的中点，设l交x轴于N，则NF＝A1F1＝AA1＝AF，即p＝，∴抛物线方程为y2＝3x.考点二　圆锥曲线的几何性质例2　(1)(2013·辽宁改编)已知椭圆C：＋＝1(a＞b＞0)的左焦点为F，C与过原点的直线相交

15、于A，B两点，连结AF，BF.若AB＝10，BF＝8，cos∠ABF＝，则C的离心率为________．(2)(2013·江苏)在平面直角坐标系xOy中，椭圆C的标准方程为＋＝1(a>b>0)，右焦点为F，右准线为l，短轴的一个端点为B，设原点到直线BF的距离为d1，F到l的距离为d2.若d2＝d1，则椭圆C的离心率为________．答案　(1)　(2)解析　(1)在△ABF中，由余弦定理得AF2＝AB2＋BF2－2AB·BFcos∠ABF，∴AF2＝100＋64－128＝36，∴AF＝6，从而AB2＝AF2＋BF2，则AF⊥BF.∴c＝OF＝AB＝5，利用椭

16、圆的对称性，设F′为右焦