【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题四 第1讲空间几何体

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1、第1讲　空间几何体【高考考情解读】　柱、锥、台、球及其简单组合体和平面及其基本性质虽然没有单独考查，但作为立体几何最基本的要素是融入在解答题中考查的，它是立体几何的基本．对于立体几何表面积和体积考查要求不高，一般以填空题为主．1．棱柱、棱锥、棱台(1)棱柱的性质侧棱都相等，侧面是平行四边形；两个底面与平行于底面的截面是全等的多边形；过不相邻的两条侧棱的截面是平行四边形；直棱柱的侧棱长与高相等且侧面与对角面是矩形．(2)正棱锥的性质侧棱相等，侧面是全等的等腰三角形，斜高相等；棱锥的高、斜高和斜高在底面内的射影构成一个直角三角形；棱锥的高、侧棱和侧棱在底面内

2、的射影也构成一个直角三角形；某侧面的斜高、侧棱及底面边长的一半也构成一个直角三角形；侧棱在底面内的射影、斜高在底面内的射影及底面边长的一半也构成一个直角三角形．(3)正棱台的性质侧面是全等的等腰梯形；斜高相等；棱台的高、斜高和两底面的边心距组成一个直角梯形；棱台的高、侧棱和两底面外接圆的半径组成一个直角梯形；棱台的斜高、侧棱和两底面边长的一半也组成一个直角梯形．(4)四棱柱、直四棱柱、正四棱柱、正方体、平行六面体、直平行六面体、长方体之间的关系．2．圆柱、圆锥、圆台(1)圆柱、圆锥、圆台的概念分别以矩形的一边、直角三角形的一直角边、直角梯形垂直于底边的腰

3、所在的直线为旋转轴，其余各边旋转而形成的曲面所围成的几何体分别叫做圆柱、圆锥、圆台．(2)圆柱、圆锥、圆台的性质轴截面分别是矩形、等腰三角形、等腰梯形；平行于底面的截面都是圆．3．球(1)球面与球的概念半圆以它的直径所在直线为旋转轴旋转一周所成的曲面叫做球面．以半圆的直径所在直线为旋转轴，半圆面旋转一周形成的几何体叫做球体，简称球．半圆的圆心叫做球的球心．(2)球的截面性质球心和截面圆心的连线垂直于截面；球心到截面的距离d与球的半径R及截面圆的半径r的关系为d＝.4．空间几何体的两组常用公式(不要求记忆)(1)柱体、锥体、台体的侧面积公式：①S柱侧＝ch

4、(c为底面周长，h为高)；②S锥侧＝ch′(c为底面周长，h′为斜高)；③S台侧＝(c＋c′)h′(c′，c分别为上下底面的周长，h′为斜高)；④S球表＝4πR2(R为球的半径)．(2)柱体、锥体和球的体积公式：①V柱体＝Sh(S为底面面积，h为高)；②V锥体＝Sh(S为底面面积，h为高)；③V台＝(S＋＋S′)h；④V球＝πR3.考点一　几何体的表面积例1　如图，斜三棱柱ABC—A′B′C′中，底面是边长为a的正三角形，侧棱长为b，侧棱AA′与底面相邻两边AB与AC都成45°角，求此斜三棱柱的表面积．由题意，可知A′在平面ABC内的射影D在∠BAC的角

5、平分线上，从而可证得四边形BCC′B′是矩形．解　如图，过A′作A′D⊥平面ABC于D，过D作DE⊥AB于E，DF⊥AC于F，连结A′E，A′F，AD.则由∠A′AE＝∠A′AF，AA′＝AA′，得Rt△A′AE≌Rt△A′AF，∴A′E＝A′F，∴DE＝DF，∴AD平分∠BAC，又∵AB＝AC，∴BC⊥AD，∴BC⊥AA′，而AA′∥BB′，∴BC⊥BB′，∴四边形BCC′B′是矩形，∴斜三棱柱的侧面积为2×a×bsin45°＋ab＝(＋1)ab.又∵斜三棱柱的底面积为2×a2＝a2，∴斜三棱柱的表面积为(＋1)ab＋a2.此题构作辅助线的方法具有典型

6、意义，记住这种作法，对解这一类问题有较大的帮助．一个正三棱台的上、下底面边长分别是3cm和6cm，高是cm.(1)求三棱台的斜高；(2)求三棱台的侧面积和表面积．解　(1)设O1、O分别为正三棱台ABC—A1B1C1的上、下底面正三角形的中心，如图所示，则O1O＝，过O1作O1D1⊥B1C1，OD⊥BC，则D1D为三棱台的斜高；过D1作D1E⊥AD于E，则D1E＝O1O＝，因O1D1＝×3＝，OD＝×6＝，则DE＝OD－O1D1＝－＝.在Rt△D1DE中，D1D＝＝＝(cm)．(2)设c、c′分别为上、下底的周长，h′为斜高，S侧＝(c＋c′)h′＝(3

7、×3＋3×6)×＝(cm2)，S表＝S侧＋S上＋S下＝＋×32＋×62＝(cm2)．故三棱台斜高为cm，侧面积为cm2，表面积为cm2.考点二　几何体的体积例2　如图所示，直三棱柱ABC—A1B1C1的侧棱长和底面边长都是a，截面AB1C和截面A1BC1相交于DE，求四面体B—B1DE的体积．解　方法一　取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体B—B1ED＝V锥B1—DEF＋V锥B—DEF＝B1F·S△DEF＋BF·S△DEF＝BB1·S△DEF＝a·×2＝a3.方法二　取BB1中点F，连结DF，EF，则V四面体B—B1DE＝2V锥B1—DEF＝2··

8、V锥B1—ABC＝2×××a3＝a3.方法三　设A、D两点到平面BCC1B1的距