【步步高 江苏专用(理)】2014届高三数学《大二轮专题复习与增分策略》专题七 第1讲

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1、第1讲　几何证明选讲【高考考情解读】　高考中主要考查三角形相似、平行截割定理、直角三角形射影定理以及与圆有关的性质和判定，考查逻辑推理能力．与圆有关的切线、割线以及三角形的综合问题是高考的热点．高考中主要是应用定理解决有关求角、求线段长、求线段长的比以及证明等类型的题目，题型以解答题形式出现，难度为中档，分值为10分．1．相似三角形的判定与性质(1)判定定理①两角对应相等的两个三角形相似；②三边对应成比例的两个三角形相似；③两边对应成比例，并且夹角相等的两个三角形相似．(2)性质定理①相似三角形对应边上的高的比、中线的比和对应角平分线的比都等于相似比

2、．②相似三角形周长的比等于相似比．③相似三角形面积的比等于相似比的平方．2．直角三角形的射影定理及逆定理(1)射影定理：直角三角形斜边上的高是两直角边在斜边上射影的比例中项；两直角边分别是它们在斜边上射影与斜边的比例中项．(2)射影定理的逆定理：如果一个三角形一边上的高是另两边在这条边上的射影的比例中项，那么这个三角形是直角三角形．3．圆周角与圆心角定理(1)圆周角定理：圆上一条弧所对的圆周角等于它所对的圆心角的一半．(2)圆心角定理：圆心角的度数等于它所对弧的度数．(3)推论：①同弧或等弧所对的圆周角相等；同圆或等圆中，相等的圆周角所对的弧也相等；

3、②半圆(或直径)所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径．4．圆内接四边形的性质与判定定理(1)判定定理：如果一个四边形的对角互补，那么这个四边形的四个顶点共圆．推论：如果四边形的一个外角等于它的内角的对角，那么这个四边形的四个顶点共圆．(2)性质定理：①圆的内接四边形的对角互补；②圆内接四边形的外角等于它的内角的对角．5．圆的切线的判定及性质(1)圆的切线的判定定理：经过半径的外端并且垂直于这条半径的直线是圆的切线．(2)圆的切线的性质定理①圆的切线垂直于经过切点的半径．②经过圆心且垂直于切线的直线必经过切点．③经过切点且垂直于切线的直线必

4、经过圆心．(3)弦切角定理：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．6．直线与圆位置关系的“四定理”(1)相交弦定理：圆内的两条相交弦，被交点分成的两条线段长的积相等．(2)割线定理：从圆外一点引圆的两条割线，这一点到每条割线与圆的交点的两条线段长的积相等．(3)切割线定理：从圆外一点引圆的切线和割线，切线长是这点到割线与圆交点的两条线段长的比例中项．(4)切线长定理：从圆外一点引圆的两条切线，它们的切线长相等，圆心和这一点的连线平分两条切线的夹角.考点一　相似三角形的判定与性质例1　如右图，梯形ABCD中，AB∥CD，且AB＝2CD，E、F分别是AB、B

5、C的中点，EF与BD相交于点M.(1)求证：△EDM∽△FBM；(2)若DB＝9，求BM.(1)证明　∵E是AB的中点，∴AB＝2EB.∵AB＝2CD，∴CD＝EB.又AB∥CD，∴四边形CBED是平行四边形．∴CB∥DE，∴∴△EDM∽△FBM.(2)解　∵△EDM∽△FBM，∴＝.∵F是BC的中点，∴DE＝2BF.∴DM＝2BM，∴BM＝DB＝3.判定三角形相似的常用方法：(1)利用三角形判定定理；(2)利用平行线分线段成比例定理；(3)利用与圆有关的“四定理”．(1)(2013·陕西改编)如图，AB与CD相交于点E，过E作BC的平行线与AD的延

6、长线相交于点P.已知∠A＝∠C，PD＝2DA＝2，求PE的长．解　∵BC∥PE，∴∠PED＝∠C＝∠A，∴△PDE∽△PEA，∴＝，则PE2＝PA·PD，又∵PD＝2DA＝2，∴PA＝PD＋DA＝3.∴PE＝＝.(2)如图，梯形ABCD内接于⊙O，AD∥BC，过点C作⊙O的切线，交BD的延长线于点P，交AD的延长线于点E.①求证：AB2＝DE·BC；②若BD＝9，AB＝6，BC＝9，求切线PC的长．①证明　∵AD∥BC，∴AB＝CD，∠EDC＝∠BCD.又PC与⊙O相切，∴∠ECD＝∠DBC.∴△CDE∽△BCD，∴＝.∴CD2＝DE·BC，即AB2

7、＝DE·BC.②解　由①知，DE＝＝＝4，∵AD∥BC，∴△PDE∽△PBC，∴＝＝.又∵PB－PD＝9，∴PD＝，PB＝.∴PC2＝PD·PB＝×＝.∴PC＝.考点二　圆的切割线定理的应用例2　如图所示，已知PA与⊙O相切，A为切点，PBC为割线，D为⊙O上一点，AD，BC相交于点E.(1)若AD＝AC，求证：AP∥CD；(2)若F为CE上一点使得∠EDF＝∠P，已知EF＝1，EB＝2，PB＝4，求PA的长．(1)证明　∵PA是⊙O的切线，AD是弦，∴∠PAD＝∠ACD.∵AD＝AC，∴∠ADC＝∠ACD，∴∠PAD＝∠ADC，∴AP∥CD.(2)

8、解　∵∠EDF＝∠P，又∠DEF＝∠PEA，∴△DEF∽△PEA，有＝，即EF·EP＝EA·ED.而AD，B