资源描述：
《数值计算方法复习要点说明》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。
1、........第一章引论计算方法解决问题的主要思想计算方法的精髓：以直代曲、化繁为简1、采用“构造性”方法构造性方法是指具体地把问题的计算公式构造出来。这种方法不但证明了问题的存在性，而且有了具体的计算公式，就便于编制程序上机计算。2、采用“离散化”方法把连续变量问题转为求离散变量问题。例：把定积分离散成求和，把微分方程离散成差分方程。3、采用“递推化”方法将复杂的计算过程归结为简单过程的多次重复。由于递推算法便于编写程序，所以数值计算中常采用“递推化”方法。4、采用“近似代替”方法计算机运算必须在有限次停止，所以数值方法常表现为一个无穷过程的
2、截断，把一个无限过程的数学问题，转化为满足一定误差要求的有限步来近似替代。算法的可行性分析时间复杂度、空间复杂度分析算法的复杂性（包含时间复杂性和空间复杂性）。时间复杂度是算法耗费时间的度量。算法的空间复杂度是指算法需占用存储空间的量度算法的可靠性分析良态算法、病态算法.专业学习资料.........一个算法若运算过程中舍入误差的积累对最后计算结果影响很大，则称该算法是不稳定的或病态算法，反之称为稳定算法或良态算法。误差的来源1、模型误差我们所建立的数学模型是对实际问题进行抽象简化而得到的。因而总是近似的，这就产生了误差。这种数学模型解与实际问题
3、的解之间出现的误差，称为模型误差。2、观测误差观测到的数据与实际数据之差。3、截断误差数学模型的准确解与计算方法的准确解之间的误差。4、舍入误差由于计算机字长有限，原始数据在计算机上表示会产生误差，每次计算又会产生新的误差，这种误差称为舍入误差。绝对误差、相对误差定义2记x*为x的近似数，称E(x)=x-x*为近似数x*的绝对误差，
4、E(x)
5、为绝对误差限。定义3称Er(x)=(x-x*)/x为近似数x*的相对误差。实际运算时也将Er*(x)=(x-x*)/x*称为近似数x*的相对误差。“四舍五入”：即尾数是4或以下则舍去，尾数是6或以上则进1，
6、如果尾数是5，则规定：前面一位数字是偶数则舍去，奇数则进1。.专业学习资料.........定义4将近似数x*写为十进制形式若其中x*的最末一位数an是经过“四舍五入”得到的，即（最后一位是因为进1，实际上只进0.5或舍去最多0.5。）则称近似数x*具有n位有效数字。近似数x*的有效数字位数n越大，则近似数的绝对误差限便越小，若近似数具有n位有效数字，则相对误差限为第二章一元非线性代数方程的求解对半分法适用条件：假设函数f在[a,b]上连续(记为f∈C[a,b])，f在区间端点异号，即f(a)*f(b)<0。求解方法：1、将区间[a,b]分半，取
7、中点(a+b)/2给x*，求f(x*)。若
8、f(x*)
9、≤ε1，则x*是f(x)=0的近似解，输出x*，停止计算，否则作下一步。2、计算f(a)*f(x*)，若f(a)*f(x*)<0，则b=x*，否则a=x*.专业学习资料.........，形成一个有f(x)=0的解的新的区间，其长度比原区间少一半。3、对新的含根区间重复上述步骤直到区间长度
10、a-b
11、<ε2或
12、f(x*)
13、≤ε1。一般迭代法如何得到迭代格式；将方程f(x)=0化为一个等价同解方程。例f(x)=φ(x)-x可化为x=φ(x)，且φ(x)是连续函数。因此求f的解变为求曲线y=φ(x
14、)与直线y=x交点的横坐标。解曲线y=φ(x)与直线y=x交点的横坐标。给定一个初值x0(x’的初始近似值)。由曲线y=φ(x)得xn+1=φ(xn)，n=0，1，2，…。把初始值x0代入上式的右端得到x1，再将x1代入右端得到x2，…，如此重复，得到迭代数列{xn}，其中xn+1=φ(xn)，n=0，1，2，…称为解方程f(x)=0的一个迭代格式，x0称为迭代初值。如何判断是否压缩映射；.专业学习资料.........收敛阶；压缩映射定理定理2迭代收敛定理或压缩映射定理、不动点定理设迭代函数φ(x)在[a,b]上具有连续的一阶导数，且(1)当x
15、∈[a,b]时，φ(x)∈[a,b](2)存在正数L<1，使对任意x∈[a,b]有
16、φ’(x)
17、≤L<1成立，则(1)方程x=φ(x)在[a,b]上有唯一不动点(根)x’，且对任取初始近似值x0∈[a,b]，迭代方法xn+1=φ(xn)(n=0,1,2,…)产生的序列{xn}均收敛，且收敛于这个不动点x’，即(2)误差估计式成立：.专业学习资料.........(3)误差估计式成立：加速收敛的埃特金法迭代格式；收敛阶埃特金算法为平方收敛牛顿法迭代格式；收敛条件；.专业学习资料.........收敛阶牛顿迭代格式的收敛阶是2，即平方收敛。弦截法双点
18、弦截法；单点弦截法；收敛条件；与牛顿法一样，当在根的领域内有直至二阶的连续导数且时，弦截法具有局部收敛性.专业学习资料.........
