解析汇报几何地解题思路、方法与策略

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1、标准文档解析几何的解题思路、方法与策略高三数学复习的目的，一方面是回顾已学过的数学知识，进一步巩固基础知识，另一方面，随着学生学习能力的不断提高，学生不会仅仅满足于对数学知识的简单重复，而是有对所学知识进一步理解的需求，如数学知识蕴涵的思想方法、数学知识之间本质联系等等，所以高三数学复习既要“温故”，更要“知新”，既能引起学生的兴趣，启发学生的思维，又能促使学生不断提出问题，有新的发现和创造，进而培养学生问题研究的能力．以“圆锥曲线与方程”内容为主的解题思想思路、方法与策略是高中平面解析几何的核心内容，也是高考考查的重点．每年的

2、高考卷中，一般有两道选择或填空题以及一道解答题，主要考查圆锥曲线的标准方程及其几何性质等基础知识、基本技能及基本方法的灵活运用，而解答题注重对数学思想方法和数学能力的考查，重视对圆锥曲线定义的应用，求轨迹及直线与圆锥曲线的位置关系的考查．解析几何在高考数学中占有十分重要的地位，是高考的重点、热点和难点．通过以圆锥曲线为主要载体，与平面向量、导数、数列、不等式、平面几何等知识进行综合，结合数学思想方法，并与高等数学基础知识融为一体，考查学生的数学思维能力及创新能力，其设问形式新颖、有趣、综合性很强．基于解析几何在高考中重要地位，这

3、一板块知识一直以来都是学生在高三复习中一块“难啃的骨头”．所以研究解析几何的解题思路，方法与策略，重视一题多解，一题多变，多题一解这样三位一体的拓展型变式教学，是老师和同学们在高三复习一起攻坚的主题之一．本文尝试以笔者在实际高三复习教学中，在教辅教参和各类考试中遇到的几道题目来谈谈解析几何解题思路和方法策略．一、一道直线方程与面积最值问题的求解和变式例1已知直线过点，若直线交轴负半轴于A，交轴正半轴于B，O为坐标原点.（1）设的面积为，求的最小值并求此时直线的方程；（2）求最小值；（3）求最小值．解：方法一：∵直线交轴负半轴，轴

4、正半轴，设直线的方程为，∴，（1）∴,∴当时，即，即时取等号，∴此时直线的方程为.实用文案标准文档（2），当且仅当时取等号；（3），当且仅当时取等号；方法二：设直线截距式为，∵过点，∴（1）∵，∴，∴；（2）；（3）．（3）方法三：，，∴，当且仅当时最小，∴．变式1：原题条件不变，（1）求△AOB的重心轨迹；（2）求△AOB的周长最小值．解：（1）设重心坐标为，且，，则，，又∵，∴，∴，该重心的轨迹为双曲线一部分；（2）令直线AB倾斜角为，则，又，过分别作轴和轴的垂线，垂足为,则，，，∴实用文案标准文档，令，则t>0，∴周长∴。

5、变式2：求的最小值．（留给读者参照变式1，自行解决）点评：由于三角函数具有有界性，均值不等式有放大和缩小的功能，在解析几何中遇上求最值的问题，可构建三角函数和均值不等式，合理地放大缩小，利用有界性，求得最值．圆锥曲线的最值问题，解法一般分为两种:一是几何法，特别是用圆锥曲线的定义和平面几何的有关结论来处理非常巧妙;二是代数法，将圆锥曲线中的最值问题转化为二次函数或三角函数的最值问题，然后利用基本不等式、函数的单调性或三角函数的有界性等求最值；二、涉及到抛物线的相关题目和证明例2证明抛物线的焦点弦定值.设直线AB：，与抛物线交于两

6、点，则有如下一些结论：①，；②；③；④．证明：方法一：设.由，得，.①，则.②作，，，假设，，，设,∴，∵，∴实用文案标准文档.方法二：；①；②.例3已知，为抛物线上两点，且满足，为坐标原点，求证：（1），两点横坐标之积，纵坐标之积分别为定值；（2）直线经过一定点．解：（1）设，，易得，，又，则，∴，∴，；（2）方法一：由对称性，可知直线过定点一定在轴上，取特值，得定点为；设直线的方程为，化简整理把代入抛物线的方程，可得，那么，，∴，则满足题意,表明直线过定点.方法二：易得直线的斜率，∴直线的方程为，整理得，实用文案标准文档即，

7、又∵，∴直线的方程为，即得直线过定点.方法三：设，，设直线方程为，将其代入抛物线的方程，得方程，只需，∴，解得，∴直线的方程为，即得直线过定点.方法四：设直线的方程为，由，得交点为和，又∵的方程为，同理可得，①当时，，∴直线方程为，即，即得直线过定点；②当，得，，∴的方程为，综上，由①②直线过定点.点评：方法一是用特殊位置找结论，再证明，方法二、三、四是处理垂直关系的通法．类似地，过椭圆，双曲线的一个顶点作，分别交椭圆，双曲线于，则直线也经过一定点．变式如图，椭圆和圆，已知圆将椭圆的长轴三等分，且圆的面积为．椭圆的下顶点为E，过

8、坐标原点O且与坐标轴不重合的任意直线与圆相交于点A、B，直线EA、EB与椭圆的另一个交点分别是P、M．（1）求椭圆的方程；（2）（i）设PM的斜率为，直线斜率为，求的值；（ii）求△面积最大时直线的方程．解：（1）依题意：，则，∴椭圆方程为；（2）（i）由题意知