圆锥曲线综合练习与答案解析

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1、圆锥曲线综合练习例1、椭圆内有一点P(1,1),一直线过点P与椭圆相交于P1、P2两点,弦P1P2被点P平分,求直线P1P2的方程。(2x+3y-5=0)备份:1.过椭圆内一点M(2,1)引一条弦,使弦被M平分,求此弦所在直线方程。2.椭圆内有一点P(3,2)过点P的弦恰好以P为中点,求这弦所在直线的方程.变式1、若椭圆与直线交于A、B两点,且,又M为AB的中点,若O为坐标原点,直线OM的斜率为,求该椭圆的方程。()变式2、斜率为1的直线与双曲线相交于A、B两点,又AB中点的横坐标为1。(1)求直线的方程   (2)求线段AB的长(1)y=x+1(2)AB=变式3、已知抛物线的焦点为F,过点

2、F的直线与C相交于A、B两点。(1)若(2)求

3、AB

4、的最小值变式4、已知椭圆的中心在原点,焦点在轴上,离心率为,且经过点,直线交椭圆于不同的两点A,B.(1)求椭圆的方程;(2)求的取值范围。例2、已知椭圆:的一个顶点为,离心率为.直线与椭圆交于不同的两点M,N.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)当△AMN得面积为时,求的值.解:(1)由题意得解得.所以椭圆C的方程为.(2)由得.设点M,N的坐标分别为,,则,,,.所以

5、MN

6、===.由因为点A(2,0)到直线的距离,所以△AMN的面积为.由,解得.变式1、已知分别是椭圆:+=1()的左、右焦点,是椭圆的上顶点,是直线与椭圆的另一个交点,.(Ⅰ)

7、求椭圆的离心率;(Ⅱ)已知面积为40,求的值【解析】(I)(Ⅱ)设;则在中,[来源:学

8、科

9、网Z

10、X

11、X

12、K]面积变式2、已知抛物线:,直线交于两点,是线段的中点,过作轴的垂线交于点.(Ⅰ)证明:抛物线在点处的切线与平行;(Ⅱ)是否存在实数使,若存在,求的值;若不存在,说明理由.解、(Ⅰ)如图,设,,把代入得,xAy112MNBO由韦达定理得,,,点的坐标为.设抛物线在点处的切线的方程为,将代入上式得,直线与抛物线相切,,.即.(Ⅱ)假设存在实数,使,则,又是的中点,.由(Ⅰ)知.轴,.又.,解得.即存在,使.例3、已知中心在原点的双曲线C的右焦点为(2,0),右顶点为。(1)求双曲线C的方

13、程;(2)若直线l:与双曲线C恒有两个不同的交点A和B,且(其中O为原点),求k的取值范围。解:(Ⅰ)设双曲线方程为由已知得故双曲线C的方程为(Ⅱ)将由直线l与双曲线交于不同的两点得即①设,则而于是②由①、②得故k的取值范围为例4、已知椭圆,点在椭圆上.(I)求椭圆的离心率.(II)设为椭圆的右顶点,为坐标原点,若在椭圆上且满足,求直线的斜率的值.解:因为点在椭圆上,故,于是,所以椭圆的离心率(2)设直线的斜率为,则其方程为,设点的坐标为变式1、已知椭圆,椭圆以的长轴为短轴,且与有相同的离心率.(1)求椭圆的方程;(2)设O为坐标原点,点A,B分别在椭圆和上,,求直线的方程.变式2、在平面直

14、角坐标系中,已知椭圆:()的左焦点为且点在上.(Ⅰ)求椭圆的方程;(Ⅱ)设直线同时与椭圆和抛物线:相切,求直线的方程.解析:(Ⅰ)由左焦点可知,点在上,所以,即,所以,于是椭圆的方程为.(Ⅱ)显然直线的斜率存在,假设其方程为.联立,消去,可得,由可得①.联立,消去,可得,由可得②.由①②,解得或,所以直线方程为或.变式3、设点的轨迹为曲线,直线与曲线交于、两点.(1)求出的方程;(2)若=1,求的面积;(3)若,求实数的值。解(1)(2)由故(3)设①由②又①代入②得:例5、如图,直线y=x与抛物线y=x2-4交于A、B两点,线段AB的垂直平分线与直线y=-5交于Q点.(1)求点Q的坐标;(

15、2)当P为抛物线上位于线段AB下方(含A、B)的动点时,求ΔPAB面积的最大值.解(1)解方程组得或即A(-4,-2),B(8,4),从而AB的中点为M(2,1).由kAB==,直线AB的垂直平分线方程y-1=(x-2).令y=-5,得x=5,∴Q(5,-5).(2)直线OQ的方程为x+y=0,设P(x,x2-4).∵点P到直线OQ的距离d==,,∴SΔOPQ==.∵P为抛物线上位于线段AB下方的点,且P不在直线OQ上,∴-4≤x<4-4或4-4

16、()、B()两点,若yy=-1(1)求证:直线L过定点M,并求点M的坐标。(0,-1)(2)求证:OAOB。(3)求AoB的面积的最小值.变式2、已知抛物线y=2px(p0).过动点M(a,0)且斜率为1直线L与该抛物线交于A、B两点,又iABi2P.(1)求a的取值范围。(-,(2)若线段AB的垂直平分线交x轴于点N,求NAB面积的最大值。(2p)[解析]:(Ⅰ)直线的方程为,将,得.设直线与抛物线两个不同

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