2012年数学理科高考题分类专题八 立体几何

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1、专题八　立体几何(2012·高考北京卷)某三棱锥的三视图如图所示，该三棱锥的表面积是(　　)A．28＋6　　　　　　　B．30＋6C．56＋12D．60＋12(2012·高考陕西卷)将正方形(如图1所示)截去两个三棱锥，得到图2所示的几何体，则该几何体的左视图为(　　)(2012·高考天津卷)一个几何体的三视图如图所示(单位：m)，则该几何体的体积为________m3.(2012·高考山东卷)如图，正方体ABCD－A1B1C1D1的棱长为1，E为线段B1C上的一点，则三棱锥A－DED1的体积为__________．(2012·高考安徽卷)若四面体ABCD的三组对棱分别相等，即AB＝C

2、D，AC＝BD，AD＝BC，则________．(写出所有正确结论的编号)①四面体ABCD每组对棱相互垂直②四面体ABCD每个面的面积相等③从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱两两夹角之和大于90°而小于180°④连接四面体ABCD每组对棱中点的线段相互垂直平分⑤从四面体ABCD每个顶点出发的三条棱的长可作为一个三角形的三边长(2012·高考课标全国卷)如图，三棱柱ABC－A1B1C1中，侧棱垂直底面，∠ACB＝90°，AC＝BC＝AA1，D是棱AA1的中点．(Ⅰ)证明：平面BDC1⊥平面BDC；(Ⅱ)平面BDC1分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比．(2012·高考广东卷)如图所示，

3、在四棱锥P－ABCD中，AB⊥平面PAD，AB∥CD，PD＝AD，E是PB的中点，F是DC上的点且DF＝AB，PH为△PAD中AD边上的高．(1)证明：PH⊥平面ABCD；(2)若PH＝1，AD＝，FC＝1，求三棱锥E－BCF的体积；(3)证明：EF⊥平面PAB.(2012·高考福建卷)如图，在长方体ABCD－A1B1C1D1中，AB＝AD＝1，AA1＝2，M为棱DD1上的一点．(Ⅰ)求三棱锥A－MCC1的体积；(Ⅱ)当A1M＋MC取得最小值时，求证：B1M⊥平面MAC.(2012·高考浙江卷)如图，在侧棱垂直底面的四棱柱ABCD－A1B1C1D1中，AD∥BC，AD⊥AB，AB＝，A

4、D＝2，BC＝4，AA1＝2，E是DD1的中点，F是平面B1C1E与直线AA1的交点．(Ⅰ)证明：(ⅰ)EF∥A1D1；(ⅱ)BA1⊥平面B1C1EF；(Ⅱ)求BC1与平面B1C1EF所成的角的正弦值．(2012·高考湖南卷)如右图，在四棱锥P－ABCD中，PA⊥平面ABCD，底面ABCD是等腰梯形，AD∥BC，AC⊥BD.(Ⅰ)证明：BD⊥PC；(Ⅱ)若AD＝4，BC＝2，直线PD与平面PAC所成的角为30°，求四棱锥P－ABCD的体积．专题八　立体几何B　由三视图可得该三棱锥的直观图为(下图)，在直观图中，作SO⊥AC于O，则SO⊥面ABC，作OG⊥AB于G，连SG，则SG⊥AB，

5、由三视图知，∠ACB＝90°，SO＝4，AO＝2，CO＝3，BC＝4.在Rt△AOG及Rt△ACB中，由Rt△AOG∽Rt△ACB，∴＝⇒OG＝＝.在Rt△SOG中，SG＝＝＝＝.∴S表＝S△SAC＋S△SBC＋S△ABC＋S△SAB＝×4×5＋×4×＋×4×5＋××＝30＋6.B　由图2可知AD1为实线，B1C在左视图中为虚线，所以左视图为B.30　由三视图知原几何体是由两个长方体及1个三棱柱组合而成，∴V＝[3×4＋]×4＝30.　VD1－EDF＝VF－EDD1＝S△D1DE·CD＝.②④⑤　如图所示，利用特值法易知②④⑤正确，③错误，①不一定．证明：(Ⅰ)由题设知BC⊥CC1，B

6、C⊥AC，CC1∩AC＝C，所以BC⊥平面ACC1A1.又DC1⊂平面ACC1A1，所以DC1⊥BC.由题设知∠A1DC1＝∠ADC＝45°，所以∠CDC1＝90°，即DC1⊥DC.又DC∩BC＝C，所以DC1⊥平面BDC.又DC1⊂平面BDC1，故平面BDC1⊥平面BDC.(Ⅱ)设棱锥B－DACC1的体积为V1，AC＝1.由题意得V1＝××1×1＝.又三棱柱ABC－A1B1C1的体积V＝1，所以(V－V1)∶V1＝1∶1.故平面BDC1分此棱柱所得两部分体积的比为1∶1.解：(1)证明：因为AB⊥平面PAD，所以PH⊥AB.因为PH为△PAD中AD边上的高，所以PH⊥AD.因为AB∩

7、AD＝A，所以PH⊥平面ABCD.(2)连结BH，取BH中点G，连结EG，因为E是PB的中点，所以EG∥PH，因为PH⊥平面ABCD，所以EG⊥平面ABCD，则EG＝PH＝，VE－BCF＝S△BCF·EG＝··FC·AD·EG＝.(3)证明：取PA中点M，连结MD，ME.因为E是PB的中点，所以ME綊AB.因为DF綊AB，所以ME綊DF，所以四边形MEDF是平行四边形，所以EF∥MD.因为PD＝AD，所以MD⊥PA.因为AB⊥平面PAD，所以M