高等数学向量代数与空间解析几何复习试题

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1、.第五章向量代数与空间解析几何5.1向量既有大小又有方向的量表示：或（几何表示）向量的大小称为向量的模，记作、

2、a

3、、1．方向余弦：r＝（x，y，z）,

4、r

5、=2．单位向量模为1的向量。3．模4．向量加法（减法）5．a·b＝

6、a

7、·

8、b

9、cosa⊥ba·b＝0（a·b＝b·a）6．叉积、外积

10、ab

11、=

12、a

13、

14、b

15、sin=a//bab＝0.(ab=-ba)7．数乘：例1，与夹角为，求。解例2设，求。解根据向量的运算法则...例3设向量，，，为实数，试证：当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。解由，得，，于是由此可知，当时，模最小，

16、因而故所以，当模x最小时，向量x必须垂直于向量b。1．向量的投影Prjb＝

17、b

18、为向量b在向量a上的投影。a·b＝

19、a

20、Prjb5.2空间平面与直线5.2.1空间平面点法式方程：与定点连线和非零向量n＝（a，b，c）垂直的点的集合。。...平面的一般方程：，n＝（A，B，C）截距式方程：三点式方程例1求过，，点的平面方程解（1）点法式n＝。则平面方程为，即。解（2）设平面方程为，代入得。代入，得解之得代入方程消去A，得方程为例2一平面通过点，它在正轴，正轴上的截距相等，问此平面在三坐标面上截距为何值时，它与三个坐标平面围成的四面

21、体的体积最小？并写出此平面方程。解依题意设所求平面的截距式方程为，由于点在此平面上，故有，解之。四面体之体积，，令得。例3求过点，和三点的平面方程。解由三点式方程故所求方程为，即...5.2.2空间直线方向向量：平行于一已知直线的任一向量称为直线的方向向量。易知直线上的任一向量都平行于直线的方向向量.若设已知向量为，则直线的对称式方程为一般式方程：参数式方程：例1求过点点，且与直线平行的直线方程解将直线写成，以为参数，则，故直线方程为例2求过点且平行于平面，又与直线相交的直线方程。解设Q为两直线的交点，则,即，（1）又Q在L上：

22、（2）令（2）=t解得x,y,z代入(1)解得，在反代入（2）得Q的坐标为，得直线为5.3点、平面、直线的位置关系1．点到平面的距离点到平面Ax+By+Cz+D=0得距离公式为：...d=例1求平面和平面的交角平分面方程。平分面上的点到两面之间距离相等，故整理得：或例2求平行于平面且与球面相切的平面方程。解由于所求平面与平行，故可设其为。因为与球面相切，所以球心到的距离，解之，，故所求平面方程为和1．点到直线的距离点到直线L的距离为例3求点到直线的距离。解，，于是所求距离3.两平面之间的夹角平面和平面的夹角,cos＝、互相垂直相

23、当于＝0；、互相平行或重合相当于.4．两直线的夹角两直线的法线向量的夹角（通常指锐角）叫做两直线的夹角....直线和的夹角cos=(5)两直线、互相垂直相当于＝0；两直线、互相平行或重合相当于5.直线与平面的夹角直线s=(m，n，p)，平面n＝（A，B，C）夹角为sin＝直线垂直于平相当于；直线平行于或直线在平面上相当于Am+Bn+Cp=0.6．平面束过直线L的平面束方程为例1求直线在平面上的投影直线的方程。解直线的方程即为，故过的平面束方程为即因为此平面与平面垂直，故有解得，于是与垂直的平面方程为即，从而所求投影直线方程为..

24、.5.4其它（旋转曲面方程）绕谁转谁不变，令一个用另两个变量的平方和的平方根代入故绕轴旋转，，得为旋转曲面方程。例1绕x轴转得，绕z轴转得。例2曲线绕z轴旋转，求旋转曲面方程。解绕z轴旋转时，，，，代入上式得例3求绕z轴旋转所得旋转曲面方程。解承上题：，令，，，则例4求直线在平面上的投影直线的方程，并求绕轴旋转一周所成曲面的方程。解将直线改写为，所以经过的平面方程可设为，即。由于它与平面垂直，故有，解得。于是经过且垂直于的平面方程为。从而的方程为...化为参数方程为于是绕轴旋转一周生成的曲面方程为即。欢迎您的光临，Word文档下

25、载后可修改编辑.双击可删除页眉页脚.谢谢！希望您提出您宝贵的意见，你的意见是我进步的动力。赠语；1、如果我们做与不做都会有人笑，如果做不好与做得好还会有人笑，那么我们索性就做得更好，来给人笑吧！2、现在你不玩命的学，以后命玩你。3、我不知道年少轻狂，我只知道胜者为王。4、不要做金钱、权利的奴隶；应学会做“金钱、权利”的主人。5、什么时候离光明最近？那就是你觉得黑暗太黑的时候。6、最值得欣赏的风景，是自己奋斗的足迹。 7、压力不是有人比你努力，而是那些比你牛×几倍的人依然比你努力。..