7年级培优：角与动角

《7年级培优：角与动角》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在行业资料-天天文库。

1、7年级培优：角与动角【例1】一副三角板ABC、DEB，如图（1）放置，（∠D=30°、∠BAC=45°）（1）求∠DBA的度数．（2）若三角板DBE绕B点逆时针旋转，（如图2）在旋转过程中BM、BN分别平分∠DBA、∠EBC，则∠MBN如何变化？（3）若三角板BDE绕B点逆时针旋转到如图（3）时，其它条件不变，则（2）的结论是否变化？【提示】三角板有两种：一种为等腰直角三角形（如图1中的△ABC），一种为含30º角和60º角的直角三角形（如图1中的△DBE），这是此类问题的隐含条件。（1）∠DBA=∠DBC-∠ABC；（2）∠MBN=∠MBA+∠ABE+∠EB

2、N，∠MBA=∠DBA/2，∠EBN=∠EBC/2，∴∠MBN=（∠DBA+∠EBC+2∠ABE）/2=（∠DBA+∠ABE）/2+（∠EBC+∠ABE）/2=∠DBE/2+∠ABC/2=30º+22.5º=52.5º;（3）∵∠MBN=∠MBE+∠ABE+∠ABN，∠MBE=∠MBA-∠ABE，∠ABN=∠EBN-∠ABE，∴∠MBN=∠MBA+∠EBN-∠ABE=（2∠MBA+2∠EBN-2∠ABE）/2=（2∠MBA-∠ABE）/2+（2∠EBN-∠ABE）/2=（∠DBA-∠ABE）/2+（∠EBC-∠ABE）/2=∠DBE/2+∠ABC/2=30º+

3、22.5º=52.5º; 【注】求一个角度通常用其他角的和或差来表示，通过等量变换，用已知角度来表示。   【例2】已知线段AB=30cm.（1）如图1，点P沿线段AB自点A向点B以2cm/s的速度运动，同时点Q沿线段点B向点A以3cm/s的速度运动，几秒钟后，P、Q两点相遇？（2）如图1，几秒后，点P、Q两点相距10cm？（3）如图2，AO=4cm，PO=2cm，当点P在AB的上方，且∠POB=60°时，点P绕着点O以30度/秒的速度在圆周上逆时针旋转一周停止，同时点Q沿直线BA自B点向A点运动，假若点P、Q两点能相遇，求点Q的运动速度．【提示】（1）动点相

4、遇问题，可用“相遇公式”（详见7年级培优：数轴上的动点）来解决；（2）PQ=10cm，点P和Q的位置有两种可能：①P左Q右；②P右Q左。所以可用讨论法分两种情况来解决；也可以建立数轴模型来解决，只需列出绝对值方程并解出方程，无需讨论。【解析】以点A为原点，射线AB为正方向建立数轴（如图1-1）。设t秒后点P、Q两点相距10cm，则A表示的数为0，B表示的数为30，P表示的数为2t，Q表示的数为30-3t，根据题意：｜2t-（30-2t）｜=10，化简得：｜4t-30｜=10，∴4t-30=±10，解得：t=10，或t=5。当t=5时，PQ=10，且P在Q的左边

5、；当t=10时，PQ=10，且P在Q的右边。（3）当P、Q相遇时，必定在圆O和线段AB的交点M、N处（图2-1）。当P、Q在点M处相遇时：点P转过的角度为：360-60=300（度），所以点P转到点M所用的时间为：300÷30=10（秒）；因为BM=30-2-4=24，故Q的速度为：24÷10=2.4（cm/s）；当P、Q在点N处相遇时：点P转过的角度为：180-60=120（度），所以点P转到点M所用的时间为：120÷30=4（秒）；因为BN=30-2=28，故Q的速度为：28÷4=7（cm/s）。综上所述，若点P、Q两点能相遇，则点Q的运动速度为2.4cm

6、/s或7cm/s.【例3】如图3-1，点O为直线AB上一点，过O点作射线OC，使得∠AOC∶∠BOC=1∶2，将一直角三角板的直角顶点放在点O处，一边OM在射线OB上，另一边ON在直线AB的下方。（1）求∠CON的角度；（2）将图3-1中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3-2的位置，使得ON落在射线OB上，此时三角板转过的角度是多少？（3）继续将图3-2中的三角板绕点O按逆时针方向旋转至图3-3的位置，使得ON在∠AOC的内部，试求∠AOM与∠NOC的数量关系；（4）在上述三角板从图3-1旋转到3-3的位置的过程中，若三角板绕点O按15º每秒的速度旋转，当三

7、角板的直角边ON所在直线恰好平分∠AOC时，求三角板绕点O转过的时间t的值。【解析】（1）∵∠AOC∶∠BOC=1∶2，∠AOC+∠BOC=180º，∴∠AOC=60º；∵∠MON=90º，∴∠AON=90º，∴∠CON=∠AOC+∠AON=60º+90º=150º；（2）在旋转过程中，三角板上任意一点转过的角度都相等，根据点N转过的角度为90º，所以三角板转过的角度是90º；（3）∵ ∠AOM=∠NOM-∠AON……①    ∠NOC=∠AOC-∠AON……②等式①-等式②：∠AOM-∠NOC=∠NOM-∠AOC=90º-60º=30º，∴∠AOM=∠NOC

8、+30º；（4）当射线ON的反向延长线