经济应用数学皮利利第七节积分在经济分析中的应用

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1、经济教学教素r州夬学城建学院第七节积分在经济分析中的应用由本章第一节的边际分析可知，对一己知经济函数F(x)(如需求函数.成本函数.总收入因数和利润函<<)/€的边际函数就是它的导数。反之，若己知边际函数F(x),由积分,可求得原经济函数：F(x)=^Fx)dx其中的积分常数可由因数的具体条件确定。远可用定积分求得经济函数F(x)=JF(x)dx+F(O)其中F(0)由具体的经济函数的经济意义确定。OSEJQE1E1aT首页上页下页返回结束'_、需求函数和供给函数⑴设需求函数g=g(p),其中q是需求量，p是价格，当〃=0时

2、，需求量最夬。设最丸需求量为q『即%=9(0)若己知边际需求因数为/(〃)，则总需求因敎q(p)为q(p)=q'(p)dp其中积分常数C可由条件绻=讥0)确定。也可由定积分求得需求因数：q(P)=[qp)dp+qQ山SEJQE1EI首页上页下页返回结束经济教学教素r州夬学城建学院(2)供给因数g=q(p)、其中q是供给量，〃是价格，当〃=0时，供给量为0。若己知边际供给函数为/(〃)，则供给场数q(p)为q(p)=q'(p)dp中积分常数c可由条件g(o)=o确定。也可由定积分直接求出供给因数：q(p)=[qp}dp丿

3、例1禁种名牌女士鞋价格卩（元）关于需求量兀（百双）的变化率为：■r州A学建学院（16+x2）2如果销售量兀=3（百双）时，每双售价为50元,求这种名牌女士鞋的需求因数兀（〃）。由已知可求出价格P和需求量兀的因数关糸§dx2(16+%23三刃J（16+〒）2〃（16+〒）#（兀）二^px）dx=J250jv-1=250x2&+(2=>250=250(16+^)2+c=/,2+Ca/16+x2由己纟q兀=3肘，p=50_1代入上式50=250-(16+9)_2+C求得C=0得到价格函数为得到需求函数为x(p)=J16-(250丫

4、显然，价格越低,YP丿需求量越犬。a/16+x二.总成本函数设产量为q时的边际成本为C(q)，固定成本为则产量为q肘的总成本函数由前面的边际分析可得到C(q)=jC(q)dq其中积分常数C由条件C(0)=Co确定。也可由定积分求出总成本函数C⑷二胆⑷dq+C°其中Co是固定成本，fC'(q)dq为可变成本。m【aa】首页上页下页返回结束三.总收入函数设销量为q时的边际收入R(q)为，则销量为g的总收入函数可由R(q)=、R(q)dq求得，其中积分常数C由销量为0肘总收入为0即7?(0)=0求出。也可由定积分的方法求得R(q)

5、=^Rq)dq经济教学教素r州夬学城建学院田、利润因数谏禁产洗边际收人为R(q)，边际成本为Cq),则边际利润L3=R3-C'(q)所以有利润L(q)=R(q)-C(q)=[R(q)dq-[fc'^dq+Co]=rRq}dq-JCq)dq-C—f_R(Q)_C(q)-dq—C=^Lq)dq-CQ经济教学教案.厂州A1学城建学院5、利润因数谏禁产洗边际收人为R(q)，Cq),则边际利润边际成本为U(q)=R(q)-C(q)所以有利润厶⑷=[Lq)dq-C^其中^Lq)dq称为销量为§时的毛利润即没有计算固定成本肘

6、的利润O经济教学教案.厂州A1学城建学院例2己知禁产芫的边际收入R'(q)=25_2q，边际成本C'(q)=13-4q,固定成本为c°=10，求当g=5时的毛利润和纯利润。解由己知，得边际利润Z/(q)=R(q)-C'(q)=12+2q由求销量为q肘毛利润的公式^Lq)dq得到当产量g=5时的毛利润为=85又固定成本为C°=10所以纯利润为85-10=75R]QI【x]首页上页下页返回结束经济教学教素r州夬学城建学院五.己知边际经济因数,求该经济因数的增量己知边际经济求其原经济函数当自变量兀从a变化到b时原函数相应的增量：由

7、不定积分先求出原因数F(x)=j/(x)dx则增量AF(x)=F(b)-F(a)由定积分可直接求得增量为AF(x)=F(b)-F(a)=ff(x)dxQI【x]首页上页下页返回结束例3禁种产品的销售增长率服从f(0=1340-850e-r式中t以年为单住，求前5年的总销隹量。聲设舖售量关于时间的岀教为F(t)、由已知有F'⑴=1340—850k所以F(5)-F(0)=((1340—850Q比=(1340f+850k)

8、：=5850+850八q5855.73六.由边际函数求最优化问题经济教学教案■厂州A学城建学院根据求函数极值的

9、方法，下面我们讨论经济中的一些最优化问题。例4禁精密仪器公司在一个月的生产周期内生产全自动勅子闷光灯，估计边际利润因数（生产水平和销售闪光灯的量关糸）为：r（x）=-0.004x+20（元/件），生产量是兀件，该公司生产和销售这些色子闷光灯的总成本是16000元，求％为何值时