§32导数与函数的单调性、极值、最值

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1、导数与函数的单调性、极值、最值基础知识•自主学习n知识梳理1.函数的单调性在某个区间(q,6)内,如果f(x)>0,那么函数尹=心)在这个区间内单调递增;如果f(x)<0,那么函数y=f(x)在这个区间内单调递减.2.函数的极值(1)判断.心0)是极值的方法--般地，当函数/(x)在点也处连续时，①如果在九附近的左侧f(x)>0,右侧广(x)<0,那么./(xo)是极人值；②如果在心附近的左侧f(x)vO,右侧£(x)>0,那么/(xo)是极小值.(2)求可导函数极值的步骤①求f(x)；②求方程.厂3=0的根：③检杳/(X)在方程厂3

2、=0的根附近的左右两侧导数值的符号.如果左正右负，那么./W在这个根处取得极人值:如果左负右正，那么*力在这个根处取得极小值.3.函数的最值(1)在闭区I'可0,切上连续的函数/(兀)在［a,切上必有最大值与最小值.⑵若函数/⑴在⑷切上单调递增，则.他为函数的最小值，.他为函数的最人值；若函数/(兀)在⑷切上单调递减，则.血)为函数的最人值，•他为函数的最小值.⑶设函数7U)在s，切上连续，在(Q,/>)内可导，求./(兀)在⑷切上的最人值和最小值的步骤如下：①求.心)在(G，b)内的极值;②将心)的各极值与他)，处)进行比较,其小最

3、人的一•个是最大值，最小的一个是最小值.【思考辨析】判断下面结论是否正确(请在括号中打7”或“X”)⑴若函数/⑴在(G,b)内单调递增，那么—淀有f(x)>0.(X)⑵如果函数沧)在某个区间内恒有•广(x)=0,则•心)在此区间内没有单调性.(V)(3)函数的极大值不一定比极小值大.(V)⑷对可导函数.心)，/(也)=0是也点为极值点的充要条件.(X)(5)函数的最人值不一定是极人值，函数的最小值也不一-定是极小值.(V)⑹函数/(x)=xsinx冇无数个极值点.(V)考点自测1.函数,/(x)=x是否存在a,使用)在(一2,3)上为

4、减函数,若存在,求出a的取值范围,若不存在,请说明理由.思维点拨函数的单调性和函数中的参数有关，要注意对参数的讨论.解f⑴=eA-a,⑴若gWO,则f(”)=『-°20,即.兀0在R上单调递增，若a>0,令e'-aMO,则xNlna.因此当aWO时，/(兀)的单调增区间为R,当a>0时，.心)的单调增区间为［Ina,+~).(2)7/(兀)=e—W0在(-2,3)上恒成立.・•・在xW(-2,3)上恒成立..•.e_2

5、，故存在实数使/⑴在(-2,3)上为减函数.思维升华⑴利用导数的符号来判断函数的单调性；—2111V的单调减区间是()A.(0,1)B.(1,+oo)C.(一8,1)D.(-1,1)答案A解析・yg壬o).・••当%e(o,l)时，f(x)<0,/(x)为减函数；当xG(l,+8)时，/(x)>0,/(X)为增函数.2.(2013-浙江)已知c为自然对数的底数，设函数./(x)=(c“一l)(x—1)*伙=1,2),贝％)A.当k=l时，心)在x=l处取到极小值B.当时，./(X)在x=l处取到极人值C.当k=2时，心)在x=l处収到

6、极小值D.当k=2时，./(x)在x=l处取到极大值答案C解析当A-1时，f(x)=cY-x-1,f(l)H0,.•・x=1不是/(x)的极值点.当A=2时，f(x)=(x-l)(xe'+er-2),显然f(1)=0,且兀在1附近的左边f(x)<0,x在1附近的右边.f(x)>0,・・・./(x)在x=1处取到极小值.故选C.1.函数/(X)的定义域为R,/(—1)=2,对任意x£R,/(x)>2,则/x)>2x+4的解集为()A.(-1,1)B.(-1,+8)C.(—8,—1)D.(—8,4-00)答案B解析设"心)=心)-(力+4

7、),*.*tn'(x)=f(x)-2>0,:.m(x)在R上是增函数.V7n(-l)=/(-l)-(-24-4)=0,•Iw(x)>0的解集为{xx>-1},即J(x)>2x+4的解集为(-1,+8).2.设1勺<2,则呼，(呼几峥的人小关系是.(用连接)•A人eA答案解析令./(X)=x-lnx(l0,•I函数y=.心)(1vx<2)为增函数，./(x)>/(l)=1>0,・・・x>lnx>0^0<—<1'X题型分类•深度剖析(3)/(兀)为增函数的充要条件是对任意的b)都有f(x)

8、MO且在(q,b)内的任一非空子区间上f(x)不恒为零.应注意此时式子中的等号不能省略，否则漏解.跟踪训练1⑴设函数/(x)=

9、?-(l+a)x2+4ax+24a,其中常数Q1,则./(x)的单调减区间为•(2)若./(