高考数学分类专题复习之九三角函数的求值

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1、第九讲三角函数的求值★★★高考在考什么【考题回放】1.（海南）•/、兀sina-<4丿“cos2a若则c°s“+sma的值为（C）B.2.（天津）7T是“tan0=2cos一+&”的(A)U丿B.必要而不充分条件D.既不充分也不必要条件7T在AOAB中，0为坐标原点，A（l,cos&）,3（sin0,l）,&w（0,—],则当AOAB的面积达最大值时，0-A.充分而不必要条件C.充分必要条件3.D)(A)兰64.(B)-(C)-(D)-432131(江苏)若cos(q+0)=t，cos(a-j3)=—t贝i

2、jtannr3an=-y5.（浙江）已知sin&+cos0二一，且兰WOW上，则cos2&的值是一一52425已知函数f(x)=—、/亍sinL+sinxcosx.(I)求f(少)的值；(II)设0丘(0,龙)，A-)=--—,求sin。的值.6242血/八・25龙125ttV3解：(I)vsin=—,cos=——6262八25兀、口.225龙.25龙25龙n・•・/()=-V3sin~+sincos=06666(II)/(%)=—cos2x一—+—sin2x,2216sin2a-4sinot-l1=0••

3、•ag(0,兀)•••sina>0•••sina-“a、731.a/3173.•・f(—)=—cosa+_sina=222242解得sina=1±3"81+3石★★★高考要考什么【考点透视】本专题主要涉及同角三角函数基本关系，诱导公式，两角和差公式，倍角公式，升幕缩角、降幕扩角公式等公式的应用.【热点透析】三角函数式的化简和求值是高考考查的重点内容之一.通过本节的学习使考生掌握化简和求值问题的解题规律和途径，特别是要掌握化简和求值的一些常规技巧，以优化我们的解题效杲，做到事半功倍.★★★突破重难点【范例1】

4、设O<0<7C,P=sin20+sin0^cos0(1)若t二sin0-cos0,用含t的式子表示P;(2)确定t的取值范围，并求岀P的最大值.解析(1)由/=sin&-cos&,有=1-2sin&cosQ=l-sin2&.sin2&=1—f2,r.P=1—f2+/=—广+/+1•(2)t=sin6一cos3=^2sin(&).v0<3<7T,:.-—<3-—<—4444.~5sin(&——)51.即f的取值范围是—1St5a/2.P(t)=-t2+t+=-(t--)2+-,在［一1,丄］内是增函数，在［

5、丄,、伍］内是减函数.2422・・・P的最大值是2.4【点晴】sin&土cos&,sin&cos&间通过平方可以建立关系，“知其一，可求其二”.TT【范例2］己知0vac—，0为f(x)=cos的最小正周期，a=(tan(1、a七二卩、,—1,4<8丿k<4丿丿方=(cosa,2),且aJ)=m.求2cos?”+sm2("+0)的值.cosa-sina解：因为0为/(%)=cos2x+-的最小正周期，故0=71・8丿(1)因a・b=tn,又a•方=cosa・tana+—B-2.I4J故coso・tan由于

6、0vovZ,所以42cos2a+sin2(a+0)_2cos2a+sin(2a+2k)cosa-smacosa-sina小1+tan(7=2cosa1-tan(72cos"a+sin2a_2cosa(cosa+sina)cosa—sinacosa-sa(兀=2coso・tan=2(2+m)<4丿【范例3】设/(x)=6cos2x->/3sin2x.(I)求/(x)的最大值及最小正周期；(II)若锐角Q满足/(a)=3—2巧，求tan

7、

8、os2x-V3sin2x+3故.f(x)的最大值为2a/3+3；最小正周期T=—=兀.2(II)由=3-2^3得2命cos/J兀'2aH—+3=3-2®故cosI6丿<6丿=-l.又由0vav^得匹v2a+^v兀+匹，故2a+—=兀，解得。=—7C.2666612从而tan—cr=tan—=a/3.43【范例4】已知ABC的面积S满足V3<5<3,且丽•梵=6,而与荒的夹角为&•(1)求&的取值范围；(2)求函数f(0)=sin2+2sin•cos+3cos20的最小值.解：(1)由题意知，ABBC=

9、

10、AB

11、

12、BC

13、cos8=6,①S=^AB-BC-sm(7r-0)=^AB-BC-sm3②o1由②十①，得一二一tan&,即3tan&二S.由能5SS3,得—Stan&Wl.523又0为而与犹的夹角，・・・&G[0,^],64(2)=sin2+2sin•cos0+3cos20=1+sin2&+cos2&=2+41sin(2&+彳)，八r7t兀、7t:兀3兀、•/2<9+-g[—,—].644124A