函数定义域及解析式

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1、1、映射(1)映射：设A、B是两个集合，如果按照某种映射法则f,对于集合A屮的任•个元素，在集合B中都有唯的元素和它对应,则这样的対应(包括集合A、B以及A到B的対应法则f)叫做集合A到集合B的映射，记作f：A-Bo注意点：(1)对映射定义的理解。(2)判断一个对应是映射的方法。一对多不是映射，多对一是映射2、函数构成函数概念的三耍素①定义域②对应法则③值域1.求函数定义域的常用方法(在研究函数问题时要树立定义域优先的原则人求函数定义域一般有三类问题：(1)给出函数解析式的：函数的定义域是使解析式有意义的自变最的取值集合：(2)实际问题：函数的定义域的求解除要

2、考虑解析式有意义外，还应考虑使实际问题有意义;⑶已知/(x)的定义域求的定义域或已知的定义域求/(尢)的定义域：①若已知/(x)的定义域［a.b］,其复合函数f［g(x)］的定义域应由a-,最小角5丝等。33(1)(2)例义域是(3)

3、函数)=的定义域是_'lg(_3)「—jh-4-7若函数V二一的定义域为R,则kw;R/+4总+3函数/(兀)的定义域是［a,b］,b>-a>09则函数F(x)=/(%)+/(-%)的定例(4)设函数f(x)=lg(tzx2+2x+1),①若.f(x)的定义域是R,求实数Q的取值范围；②若于(兀)的值域是R,求实数Q的取值范围(1)根据实际问题的要求确定占变量的范围。(2)复合函数的定义域：若已知/(刃的定义域为［⑦切,其复合函数f［g(x)］的定义域由不等式a

4、a,b］时,求g(兀)的值域(即于(兀)的定义域)。例(1)若函数y=/(x)的定义域为丄,2,则/(log2x)的定义域为例(2)若函数/(x2+l)的定义域为［-2,1),则函数于(兀)的定义域为2.求函数解析式的常用方法:•般式:1待定系数法一一己知所求函数的类型(二次函数的表达形式有三种:f(x)=ax2--bx+c；顶点式：f(x)=a(x-m)2:零点式：/(x)=6f(x-x()(x-x2),要会根据已知条件的特点，灵活地选用二次函数的表达形式)。例(1)已知/(兀)为二次函数,且/(兀—2)=.f(—兀―2),且f(0)=1,图象在x轴上截得

5、的线段长为2迥,求/(%)的解析式。(2)已知二次函数/(兀)满足“)=1,/(-1)=5，图彖过原点，求/(%)；(3)已知二次函数/(%),具图象的顶点是(-1,2),且经过原点，/(x).说明：(1)已知函数类型，求函数解析式，常用“待定系数法”；(2)基本步骤：设出函数的一般式(或顶点式或两根式等)，代入已知条件，通过解方程(组)确定未知系数。2代入法(1)已f(x)=x2-4x4-3,求f(x+l).(2)已知/(x)=3x24-1,g(x)=2x-l,求和gU(QJ.说明：已知/⑴求f[g(x)],常用“代入法”.基本方法：将函数彳㉛中的乂用g©来

6、代替，化简得函数表达式.$配凑法与换元法：已知形如/(g(x))的表达式，求于(兀)的表达式。例⑴已知/(l-cosx)=sin2x,求/(*)的解析式；例(2)若/(无—丄)=/+亠，则函数/(兀_1)二；XQ例(3)若函数/(%)是定义在R上的奇函数，且当xw(0,+g)时，/(x)=x(l+Vx),那么当xe(-oo,0)吋，f(x)=例(4)已知f(兀+1)=兀2_2兀,求/(%).例(5)已知/(仮+1)=尤+2坂，求/(兀+1).这里需值得注意的是所求解析式的定义域的等价性，即/(%)的定义域应是g(Q的值域。说明：已知/[g(Q]求/(x)的解析

7、式，常用配凑法、换元法；换元吋，如果中间量涉及到定义域的问题，必须要确定中间屋的取值范围.4构造方程法(方程的思想)一一已知条件是含有/(Q及另外一个函数的等式，可抓住等式的特征对等式的进行赋值，从而得到关于/(兀)及另外一个函数的方程组。例(1)已知/⑴+2/(—0=3兀—2,求/(兀)的解析式；例(2)已知f(x)是奇函数，g(x)是偶函数，且/(Q+g(x)二丄，则/(x)二尢一1例3、已知f®满足2/(%)+/(-)=3%,求f(x).说明：已知/(兀)与/(-X),或/⑴与门丄)之间的关系式，求/(x)的解析式，通X过“互换”关系构造方程的方法，消去

8、/(-X)或于(丄)，解出/(X).作