复合函数定义域及求解析式

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1、例2:(1)若函数/⑴的定义域是［0，1］，求/(l-2x)的定义域；⑵若/(2*-1)的定义域是［-1，1］，求函数/⑵的定义域；⑶已知/(X+3)定义域是［-4,5)，求/(2X-3)定义域.答••⑴函数/(l-2x)是由A到B上的函数〃=1-2^与B到C上的函数/⑻复合而成的函数.•.•函数/U)的定义域是［0，1］，/.B二［0,1］，即函数的值域为［0,1］.0<1-2%<1,/.-1<-2%<0,即丄，•••函数/(l-2x)的定义域［0,去］.2⑵函数/(2x-1)是由A到B上的函数w=

2、2x-l与B到C上的函数)，=/⑻复合而成的函数.f(2x-l)的定义域是［-1，1］，•••A=［-1,1］，即-1mi，•••-3S2x-1S1,即w=2x-l的值域是［-3,1］，.•.>-/(%)的定义域是［-3,1］.要点2:若已知f(x)的定义域为A，则/kCx)］的定义域就是不等式gOOeA的;C的集合；若己知/kOO］的定义域为A，则/00的定义域就是函数gCx)CxeA)的值域。⑶函数/U+3)是由A到B上的函数m3与B到G上的函数>，=/⑻复合而成的函数.•.•/(%+3)的定义域

3、是［-4,5)，AA=［-4,5)艮［1—4%<5?1^jv+3<8BPH=X+3的值域B=［-1,8)又f(2x-3)是由/V到fi’上的函数Y=2x-3与B到C上的函数y=/⑻复合而成的函数，而B=B，，从而心2x-3的值域B’=[-l，8)•••-l<2%-3<8•••2<2%<11,•••l

4、，即ha1)；则有g(n)二w2+w+1，(w>0)复合函数/(JV)是由n(x)=Vx-1与g⑻=u2+u+l复合而成，而g(u)=u2+w+l，(«>0)的值域即./(A：)的值域，但g(w)=«2+w+l的本身定义域为/?，其值域则

5、不等于复合函数f(X)的值域了。例5:已知函数/(x2-3)=lg^—,求函数/00的解析式，定义域及奇偶性。x-62分析：因为y(x2-3)=ig——定义域为-7^或d7^}x-6令w=x2-3，u>-3；则/*(“)=lg2~~-,且^«-3所以/(x)=igl±l,x^3,定义域不关于原点对称，故/00是非奇非%-3偶函数。V-4-3然而只就/(X)=lgC解析式而言，定义域是关于原点对称的，且x-3f(-x)=-/(%),所以是奇函数。就本题而言/(W)就是外函数其定义域决定于内函数〃=%2-

6、3,n>3的值域，而不是外函数f(u)其解析式本身决定的定义域了。2.求有关复合函数的解析式，例6.①已知/⑺=x2+l，求②已知/(x-l)=(x+l)2+l,求/(X).例7.①已知/(；v-l)=x+丄，求/(X);%②已知—)=x~—，求,(义+1)•XX要点3:已知/O0求复合函数/UOO］的解析式，直接把/(a)中的*换成gU)即可。已知/［以幻］求/Cx)的常用方法有：配凑法和换元法。配凑法就是在/［gOO］中把关于变量的表达式先凑成gOO整体的表达式，再直接把以幻换成*而得/u)。换元

7、法就是先设gU)=Z，从中解出;V(即用Z表示;V)，再把•X(关于/的式子)直接代入/UU)］中消去A：得到/(0,最后把/⑴中的z直接换成;C即得f(x),这种代换遵循了同一函数的原则。例8.①已知/U)是一次函数，满足3/(x+l)-2/(x-l)=2x+17，求乂⑺；②已知3/(x)+2/(丄)=4x，求/(x).要点4:⑴当已知函数的类型求函数的解析式时，一般用待定系数法。⑵若已知抽象的函数表达式，则常用解方程组、消参的思想方法求函数的解析式。已知/Cx)满足某个等式，这个等式除f(x)是未

8、知量外，还出现其他未知量，如/(_•¥)、/(I)等，必须根据X已知等式再构造出其他等式组成方程组，通过解方程组求出/(义)。二、练习：1.已矢卩/(2义+1)=义2—2义，求/(2&+1)和/(2V^+3)•解：令2jv+1=2V^+1，设x=/(2V2+1)=(V2)2-2^2=2-2收^2%+l=2V2+3,ixx=V2+l,/(2V2+3)=(V2+1)2-2(72+1)=3+272-272-2=1.