《概率统计a教学资料》第一章（第二节）古典概率

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1、第一章随机事件的概率第二节概率的定义及性质所谓随机事件的概率，概括地说就是用来描述随机事件出现（或发生）的可能性大小的数量指标.其实概率的思想术语在我们日常生活中经常出现•对未来的不确定事件，我们经说有把握、希望、机会有多大，高考上线率，各种升学率等•“不怕一万，就怕万一”，就是人们对确定事件和不确定事件的认识，为此提前作出的思想准备，表明人类的智慧与先见之明。“万物皆有定数”。古代智人（周文王，姜子牙，诸葛亮，刘伯温等）的掐指一算，就是算的样本空间和随机事件的概率。数学上只能对简单的随机现象进行概率定义，复杂的随机现象有待于研究.随机事件在一次试验中既可能发生，也可能不发生，似乎无

2、什么规律。如果在相同的条件下，把一个试验重复做许多次，我们一定会发现，某些事件发生的次数多一些，而另一些事件发生的次数少一些。表现出一定的规律性。例如买彩票时投注号码，有极少一部分人能预感到中奖号码的规律。例如，将一颗骰子重复投掷100次，毫无疑问，事件“出现奇数点”比事件“出现1点”发生的次数会多得多。那么，发生次数多的事件在每次试验中发生的可能性大一些，而发生次数少的事件在每次试验中发生的可能性小一些。问题是：如何度量事件发生可能性的大小？对于事件A,如果实数HA)满足:(D数HA)的大小表示事件A发生可能性的大小；(2)"4)是事件A所固有的，不随人们主观意志而改变的一种度量。

3、那么数P(A)称为事件A的概率。它是事件A发生可能性的度量。在本节中，我们首先介绍一类最简单的概率模型，然后逐步引出概率的一般定义。—、概率的古典定义古典型随机试验：如果试验E的样本空间S只包含有限个基本事件，并且每个基本事件发生的可能性相等,即％)*6)=••=%),则称这种试验为古典型随机试验，简称古典概型。下面我们来讨论古典概型中事件a的概率m)o考虑一^具体的例子：投掷一颗匀称的骰子,观察其出现的点数。易知,S—{©，幺2，，幺6}，其中®表示出现z•点，心1,2,…,6。由于骰子是匀称的，所以每个基本事件©发生的可能性相同。这是个古典概型。考虑事件A={e2,e4,e6}o

4、因为事件A包含的基本事件的个数等于基本事件总数的一半，并且每个基本事件发生的可能性都相等，因此事件A发生的可能性，即概率规定为心)冷是合理的。31石=7它恰好是A包含的基本事件的个数除以基本事件总数所得的结果。古典概率的定义和计算公式:定义2：设试验E的样本空间S=｛弓，幺2,…，勺｝，并且每个基本事件发生的可能性相等，即P(eJ=PG)=…=P(eJ,E中事件A包含R个基本事件，则称p(A=k=事件A所包含基本事件的个数~n~基本事件总数，为事件A的概率。即事件A的概率等于事件A件发生的可能性都相等，因此事件A发生的可能性，即概率规定为心)冷是合理的。31石=7它恰好是A包含的基本

5、事件的个数除以基本事件总数所得的结果。古典概率的定义和计算公式:定义2：设试验E的样本空间S=｛弓，幺2,…，勺｝，并且每个基本事件发生的可能性相等，即P(eJ=PG)=…=P(eJ,E中事件A包含R个基本事件，则称p(A=k=事件A所包含基本事件的个数~n~基本事件总数，为事件A的概率。即事件A的概率等于事件A所包含的基本事件的个数佗们的出现对A的出现有利，因此习惯上称为A的有利事件，或有利场合)与基本事件总数之比值。概率的这种定义称为概率的古典定义。这样定义的概率称为古典概率。由概率的古典定义，容易证明古典概率具有下列性质：(1)对任意事件40

6、(3)若事件九每…几互不相容,贝IJmmi=lz=l，(4)P(A)=1-P(A),P(A)=1-P(A).证：Cl)因为任一事件4所包含的基本事件数k恒满足0

7、以P(A)=1-P(A),P(A)=1-P(A).几个记号的规定：排列数记号盂全排列数记号Pn=A；=n!=n•(n—1)•••2•19组合数记号"一疋_&・A牡—k求解古典概型问题的关键是弄清楚样本空间中的基本事件的总数和对所求概率事件有利的基本事件个数.在弄清楚基本事件个数的时侯,必须分清楚所研究的问题是组合问题还是排列问题.先掌握以下关于排列组合的知识.1.乘法原理设完成一件事有〃个步骤,第一步有"种方法，第二步有®种方法，…，第〃步有叫种方法，必