2016年广州一模理科数学试题及答案

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绝密★启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学注意事项：1.本试卷分第I卷(选择题)和第II卷(非选择题)两部分。答卷前，考生务必将白己的姓名和考生号、试室号、座位号填写在答题卡上，并用铅笔在答题卡上的相应位置填涂考生号。2.回答第I卷时，选出每小题答案后,用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑,如需改动,丿IJ橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号。写在本试卷上无效。3.回答第II卷时，将答案写在答题卡上。写在本试卷上无效。4.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交冋。第I卷一.选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.(1)已知集合A={xxv1},Bx2—xB,贝ijsinA>sin5.其小真命题的个数是(A)1(B)2(C)3(D)4(11)如图，网格纸上小正方形的边长为1,粗线画出的是某个四面体的三视图，则该四面体的表面积为(A)8+8V2+4x/6(B)8+80+2乔(C)2+2>/2+V6(D)1V2V6—+——+——224(12)以下数表的构造思路源于我国南宋数学家杨辉所著的《详解九章算术》一书屮的“杨辉三角形］12345…201320142015201635794027402940318121680568060202816116该表由若干行数字组成，从第二行起，每一行屮的数字均等于其“肩上”两数Z和，表小最后一行仅有一个数，则这个数为 (A)2O17x22015(B)2017x22014(C)2O16x22015(D)2016x22014第II卷本卷包括必考题和选考题两部分.第13题〜第21题为必考题，每个试题考生都必须做答.第22题〜第24题为选考题，考生根据要求做答.二•填空题：本大题共4小题，每小题5分.(13)—个总体中有60个个体,随机编号0,1,2,…，59,依编号顺序平均分成6个小组,组号依次为1,2,3,…，6.现用系统抽样方法抽収一个容量为6的样本，若在笫1组随机抽収的号码为3,则在第5组中抽取的号码是.22(14)已知双曲线C：罕一莓=1(d>0#>0)的左顶点为A,右焦点为F,点B(0上)，且BABF=0fab_则双曲线C的离心率为.(15)(%2-x-2)的展开式中，F的系数为.(用数字填写答案)(16)已知函数/(x)=1_|兀+1|,%2—4x+2,则函数g(兀)=2忖/(兀)-2的零点个数为个.三.解答题：解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.(17)(本小题满分12分)如图，在△ABC中，点D在边上，CD丄BC,AC=5羽,CD=5fBD=2AD.(I)求AD的长；(II)求厶ABC的面积.(18)(本小题满分12分)从某企业生产的某种产品小抽取100件，测量这些产品的质量指标值，由测量结果得到如图所示的频率分布直方图，质量指标值落在区间［55,65),[65,75),[75,85]内的频率之比为4:2:1.(I)求这些产品质量指标值落在区间［75,85］内的频率；(II)若将频率视为概率，从该企业生产的这种产品中随机抽取3件，记这3件产 品屮质量指标值位于区间［45,75)内的产品件数为X,求X的分布列・数学期望.(19)(本小题满分12分)如图，四棱柱ABCD-A^C.D.的底面ABCD是菱形，AC^BD=O,人0丄底面ABCD,(20)(本小题满分12分)已知椭鬪C的中心在坐标原点，焦点在x轴上，左顶点为A,左焦点为Fj-2,0)，点8(2,、伍)在椭圆C上，直线y=kx(k^0)与椭圆C交于E,F两点，血线A£,AF分别与y轴交于点M,N.(I)求椭圆C的方程；(II)以为白径的圆是否经过定点？若经过，求出定点的朋标；若不经过，请说明理山.(21)(本小题满分12分) 己知函数/(%)=ev+,H-x3,g(x)=ln(%+l)+2.(I)若曲线y=f(x)在点(0,/(0))处的切线斜率为1,求实数加的值;(II)当m>1lit，证明：/(x)>^(x)-x3. 请考生在第22、23、24题中任选一题做答，如果多做，则按所做的第一题计分.做答时请写清题号.(22)(本小题满分10分)选修4一1：几何证明选讲如图所示，AABC内接于OO,直线AD与OO相切于点A,DEC4交34的延氏线于点E.求证：DE2=AEBE,(ID若直线EF与相切于点F,且EF=4,EA=2,求线段4C的长.(23)(木小题满分10分)选修4一4：坐标系与参数方程在平面直介坐标系兀0)，中，以坐标原点O为极点，x轴正半轴为极轴建立极坐标系，曲线C的极坐标方程为p=2sin&,[0,2兀).(I)求曲线C的直角处标方程；(II)在Illi线C上求一点D,使它到直线儿jx=^+V3,(/为参数，虫R)的距离最短，并求[y=-3/+2出点D的直角坐标.(24)(本小题满分10分)选修4—5：不等式选讲设函数/(x)=x+闷十_J1_g.(I)当d=l时，求不等式/(%)＞丄的解集;2 (II)若对任意QW[O,1],不等式f(X)>b的解集为空集，求实数b的収值范围.绝密★启用前2016年广州市普通高中毕业班综合测试(一)理科数学试题答案及评分参考评分说明：1.木解答给出了一种或几种解法供参考，如果考生的解法与木解答不同，可根据试题的主要考杳内容比照评分参考制订相应的评分细则.2.对计算题，当考生的解答在某一步出现错误时，如果后继部分的解答未改变该题的内容和难度，可视影响的程度决定后继部分的给分，但不得超过该部分正确解答应得分数的一半；如來后继部分的解答有较严重的错误，就不再给分.3.解答右端所注分数，表示考生正确做到这一步应得的累加分数.4.只给整数分数.选择题不给中间分.一.选择题(1)D(2)D(3)C(4)B(5)C(6)A(7)A(8)A(9)D(10)B(11)A(12)B二.填空题a/5+12(13)43(14)(15)-40(16)2三.解答题(17)(I)解法一：在△ABC中，因为BD=2AD,设AD=x(x>0),则BD=2x.在厶BCD中，因为CD丄BC,CD=5,BD=2x,所以cosZCZ)B=—=—.2分BD2x在△467)小，因为AD=x,CD=5,AC=5晶,,入、沖如AD2+CD1-AC2x2+52-(5>/3)2八山余弦矩理得cosZADC=='>.4分2xADxCD2xxx5因为ZCDB+ZADC=兀，所以cosZADC=-cosZCDB, 2x%2+52-(5V3)252xxx5所以AQ的长为5.解法二：在△ABC中，因为BD=2AD,设AD=x(x>0),则BD=2x.在因为CD丄BC,CD=5,BD=2x.m^CBD=BD2x在△ABC中，因为AB=3x.BC=^4x2-25,AC=5羽,由余弦定理得cWCBA=佰+加-力13宀1002xABxBC6xXa/4x2-25所以亦613x^-1002x6xXyj4x2-25所以AD的长为5.(II)解法一：山(I)求得AB=3x=15,BC=<4x2-25=5^3-所以ZCBD备耳,从而sin/CBD冷10分所以Smbc二丄xABxBCxsinZCBA212分=丄x!5x5V3xL=.•224解法二由（I）求得AB=3x=15,BC=』4丘一25=5巧•因为AC=5艮所以△ABC为等腰三角形.因为cZCBD吩書,所以如”30。.10分所以△ABC底边AB上的高力二=BC=—22 所以Smbc=亍％A3xh12分解法三：因为AD的长为5,所以cosZCDB=—=—=丄，mzCDB=-.BD2x231Q/q所以Saadc=-xAPxC£>xsin—=冷xBDSs吟竽所以S^BcCD=S^dc75>/348分10分12分(18)解：(I)设区间［75,85］内的频率为兀,则区间［55,65),［65,75)内的频率分別为4兀和2兀.1分依题意得(0.004+0.012+0.019+0.03)xl0+4x+2x+x=l,3分解得%=0.05.所以区间［75,85］内的频率为0.05・4分(II)从该企业生产的该种产品屮随机抽取3件，相当于进行了3次独立重复试验,所以X服从二项分布其中〃=3.由(I)得，区间［45,75)内的频率为0.3+0.2+0.1=0.6,将频率视为概率得p=0.6.5分因为X的所有可能取值为()，1,2,3,6分且P(X=0)=C；x0.6°xO.43=0.064,P(X=1)=C*xO.61x0.42=0.288,P(X=2)=C；xO.62xO.M=0.432,P(X=3)=C^x0.63x0.4°=0.216.所以x的分布列为: P0.0640.2880.4320.21610分所以X的数学期望为EX=0x0.064+1x0.288+2x0.432+3x0216=1.8.(或直接根据二项分布的均值公式得到EX=np=3x0.6=1.8)12分(19)(I)证明：因为人0丄平而ABCD,BDu平面ABCD,因为ABCD是菱形，所以CO丄.因为A}OCCO=0,A所以BD丄平面A}CO1分B3分2分因为BDu平所以平面BB.D.D丄平面A.CO.4分(II)解法一：因为4Q丄平iftlABCD,COLBD,以。为原点，OB,OC,顶方向为x,y,z轴正方向建立如图所示空间直角处标系.5分因为AB=AAl=2,ZBAD=60,所以OB=OD=,OA=OC=品,OAX=^AA；-OA1=1.6分则B(1,0,0),C(0,V3,0),A((),-希,())，A.(0,0,1),所以亟二鬲=(0,希,1),囲二亦+西=(1笫,1).z设平面OBQ的法向最为n=(x,y,z),因为OB=(1,0,0),0^=(1,a/3,1),fx=O,所以厂[x+>/3y+z=0. 令y=1, 得n=（0丄一希）.9分同理可求得平而OCQ的法向量为7n=（l,0,-1）.10分11分所以cos=茸=—.2V24因为二面角B_OB、_C的平面角为钝角,/7所以二面角的余弦值为盲12分D、连接AG与bq交于点q,AB•一p、、、、解法二由（I）知平面ACO丄平面BB»D,因为AA,=CC},AA.//Cq,所以CAAC,为平行四边形.zA因为0,分别是AC,AC的中点,所以OA}O}C为平行四边形.且O.C=OAX=.因为平面Acon平面BBQD=00.,过点C作CH丄OQ于H,则CH丄平曲BBQD.过点H作HK丄OQ于K,连接CK,则CK丄OQ.所以ZCKH是二面角B_OB厂C的平面角的补角.6分亠,OtCxOClXy/3V3在RtAOCO,中，CH===—7分00}22* 在AOCQ中，因为£0丄所以OB产JOA：+AB：二卫.因为AQ=CD,AB』CD,所以B}C=A}D=^}02+002=V2. 因为B©+OC?=OB；,所以△OCBjj直角三角形.所以ck=cb'x0C=()垃V2x>/3所以KX阪F法.所以cosZCKH=—=—.CK49分10分11分所以二面角B—OB、"的余弦值为严12分(20)(I)解法一：设椭圆C的方程为二+与=1(o>b>0),ab因为椭関的左焦点为£(一2,0),所以a2-b2=4.设椭圆的右焦点为F2(2,0),已知点B(2,V2)在椭圆C上，由椭圆的定义知阿|+阴=2°,所以2ci=3迥+迈=4近.2分所以a=2迈,从而b=2.所以椭圆C的方程为才+冷“22解法二：设椭圆C的方程为务+存=1@>方>0),ero①1分②2分因为椭圆的左焦点为耳(_2,0),所以a2-b2=4.因为点B(2,血)在椭阴IC上，所以—+^=1.由①②解得，a=2>/2,b=2.r2v2所以椭圆C的方程为一+2_=1.4分84(II)解法一：因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(-2血,0).5分22 因为直线y二也伙工0)与椭圆—+^-=1交于两点E,F,84 设点E（x0,y0）（＞（沏设x（）＞0）,则点F（-观厂儿）・y=kx,联立方程组2F-—81+2/所以肓线4疋的方程为y二84因为直线AE,4F分别与y轴交于点M,N,令兀=0得y=2严1+J1+2疋,即点M0,/-<1+a/1+2k2)同理可得点N0,(1-J1+2/丿2©（1+2碍近、设MN的中点为P,则点尸的坐标为P0,-—.……Ik丿所以|mn|二2尿2近k1+J1+2疋1—J1+2/10分1+2疋)厂/（/T2/^7则以MW为总径的圆的方程为/+y+纟二k/11分即"+君4.令y=0,Wx2=4,即x=2或％=-2・故以MN为直径的鬪经过两定点彳（2,0）,鬥（一2,0）.12分解法二：因为椭圆C的左端点为A,则点A的坐标为（-2^2,0）.5分22因为直线y=kx（k^0）与椭圆—+^-=1交于两点E,F,84设点E（x0，儿）,则点F（-x0，-y0）・ >0所以直线AE的方程为y=1匸(兀+2a/2)%0+2a/2因为直线AE与y轴交于点M,令“"念即点M0,7巧°.(兀。+2丁2丿8分所以|MW|设的中点为P,则点P的坐标为•I儿丿21610分则以MN为在径的圆的方程为FLI>o丿即十+歹2+空％=4.11分令〉，=0,得/=4,即x=2^x=-2.故以MV为直径的圆经过两定点P}(2,0),P2(-2,0).12分解法三：因为椭圆C的左顶点为A,则点A的坐标为(-2a/2,0).5分22因为直线y=kx(k^0)与椭圆y+=1交于两点E,F,设点E(2V^cos&,2sin&)(0v&<兀)，贝ij点F(—2V^cos&,-2sin&)・所以直线AE的方程为y二2sin&2V2cos0+2V2x+因为直线AE与y轴交于点M， 令"°得尸济'即点M(2sin&'u,Vcos0+1丿同理可得点N〔0,"me'ICOS&-1丿所以|mn|=2sin&2sin&COS&+1COS&-14sin&"2cos010分设^的中点为p,则点p的处标为p卜时则以为直径的圆的方程曲+»二4sin2011分12分即x2+y2+y二4.sin0°令y=0,得/=4,即x=2或x=—2•故以MN为直径的圆经过两定点人（2,0）,马（-2,0）.(21)(I)解：因为/(Q=e®—兀S所以f（x）=ex+n,-3x2.1分因为曲线y=f（兀）在点（0,f（0））处的切线斜率为1,所以/（Q）=ew=l,解得m=0.2分(II)证法一：因为f(x)=ex+m-xg(x)=ln(x+l)+2,所以/(x)>g(x)-x3等价于ex+,w-ln(x+l)-2>0.当加hi吋，et+w-ln(x+l)-2>et+,-ln(x+l)-2.要证于切一ln(x+l)—2>0,只需证明ev+,-ln(x+l)-2>0.4分以下给出三种思路证明et+,-InU+1)-2>0•思路1：设/i(x)=ex+1-ln(x+l)-2,则//(x)=eA+,—-—X+1 设p(x=er+,一一,则;/(x)=ex+,+—>0.'丿兀+1、丿(兀+1『所以函数p(x)=hx)=ev+1在(-1,+oe)上单调递增.6分兀+1(1>丄因为//一一=e2-2<0,/Z(0)=e-l>0,2丿所以函数//(%)=ex+1--^在（―1,+8）上有唯一零点Xq9且XqG即ln(xo+1)=—(兀0+1).因为//（无。）=0,所以ero+,=——兀o+l当XG(-1,XO)时，/?z(x)<0;当XG(X0,4-oo)时，//(X)>O,10分所以当x=吋，/2（兀）取得最小值/2（兀0）所以/?(%)>h(xQ)=ex°+1—ln(x0+1)—2=+(x0+1)-2>0看)+1综上可知，当说二］时，/(x)>g(x)-x3.12分思路2：先证明er+1>x+2(xgR).5分设/?(%)=ex+1-x-2,则hx)=e曲一1.因为当兀V-1B寸,/?z（x）<0,当兀>一1时，/?z（x）>0,所以当X<-1时，函数/?（兀）单调递减，当x>-l时，函数力（兀）单调递增.所以/?（x）>/?（-l）=0.所以ex+,>x+2（当且仅当x=-l时取等号）.所以要证明et+1-ln(x+l)-2>0,只需证明(x+2)-ln(x+1)-2>0.下面证明x-ln(x+l)>(). 设/?(x)=x-ln(x+l),贝qpx)=i=.x+1x+1当一lvxv0时，pz(x)<0,当兀>0时，p'(x)>0,所以当一lvxv0时，函数p(x)单调递减，当x>0时，函数卩(兀)单调递增.所以p(x)>p(0)=0.所以x-ln(x+l)>0(当且仅当工二0时取等号).1()分由于取等号的条件不同，12分所以er+,-ln(x+l)-2>0.综上知，当m>111^*,/(x)>g(兀)一(若考生先放缩ln(x+l),或『、ln(x+l)同时放缩，请参考此思路给分!)思路3：先证明ex+,-ln(%+l)-2>0.令r=%+1,转化为证明ez-lnr>2(r>0).5分所以〃(兀°)在(0,+oo)上单调递增,则7i(^o)>/i(0)=l.百厂［、1.e'"—Xoyfl所以爪步〉亍②设/心)=兀0-皿0(勺>0)，则p©o)=l-—=^~X。珀)因为当01时,pQo)>0, 所以当0v^ovl时,函数p（兀o）=x（）-lnx°单调递减;当兀°>1时,函数p（x0）=x0-lnx0单调递增・所以〃（x（））np（l）i•所以d,=x（）_/x性返.-V22（E所以AB沁（心乜）>近—+=2.7综上可知,当m>1时,/(x)>g(x)-x3.12分证法二：因为f(x)=ex+m-x3,g(x)=ln(x+l)+2,所以f(x)>g(x)-x3等价于e"'”一In(兀+1)—2>0•4分以下给出两种思路证明eA+/N-ln(x+l)-2>0.思路1；设/i(x)=eA+w-ln(x+l)-2,则hx}=ex+m.X+1设p(x=严一一!-，则P7x)=e*+—・>0・x+1(x+1)-所以函数p(x)=hx}=严一一在(-1,+oo)上单调递增.6分X+1因为加>1,所以//(-1+尹)=-「二e'”(e""-1)v0,//(0)二e"‘一1>0.所以函数/Z(x)=ev+w—一在(-1,+-)上有唯一零点兀°,且xog(-1+e-w,,0).x+18分因为//(xo)=O,所以e^+w=—,BPln(x0+l)=-x0-m.9分兀o+l当XG(O,xo)时，//(兀)VO;当XG(x0,+°o)时，//(兀)>0.1()分所以当X=X0时，力（兀）取得最小值％（兀0）・所以/?(x)>h(x0)=严_In(兀0+1)_21Xo+1 —+(兀()+1)+加3>0.心+1综上可知,当加》1时，f(x)>g(x)-x3.12分思路2：先证明ev>x4-l(xeR),Kln(x+I)-1).5分设F(x)=eA-%-l,则FXx)=ex-l.因为当xvO时，Fx)<0:当兀>0时，Fx)>0,所以F(X)在(—,0)上单调递减，在(0,+oo)上单调递增.所以当兀=0时，F(x)取得最小值F(0)=0.所以F(x)>F(O)=O,即ex>x+l(xeR).7分所以ln(x+l)0.由ex>x+l(xeR)f得ev+1>x+2(当且仅当x=-l时取等号).9分因为x>-l,m>,Rex+1>x+2A/ln(x+l)(兀+2)—兀一2=(e"i—1)(兀+2)>0.因为AAED=ZDEB(公共角),所以△AEDs/£)EB・3分 所以空=竺.BEDE即DE2=AEBE,4分(II)解：因为EF是OO的切线，E4B是OO的割线，所以EF—EAEB(切割线定理).5分因为£F=4,£4=2,所以£B=8,AB=EB-EA=6.7分由(I)矢WDE2=AEBE,所以DE二4.8分因为DECA,所以△BACsBED・9分所以邑=竺.BEEDBA-ED6x4八BE8(23)(I)解：由p=2sin&,0w[0,2兀),可得p2=2psin&・1分p1=x24-y2,ps 0=yf2分所以曲线C的普通方程为x2+y2-2y=0(或a:2+(.y-l)2=1).4分(II)解法一：因为直线的参数方程为P=^+V3,(『为参数，虫R),[y=-3t+2消去t得直线/的普通方程为y=_屈+5.5分因为曲线C：x2+(y-l)2=1是以G(0,1)为圆心，1为半径的圆，设点/(兀0，儿)，且点D到直线儿y二-屈+5的距离最短，所以Illi线C在点D处的切线与直线I：y=-羽x+5平行.即直线GD与/的斜率的乘积等于—1,即!-x(-V3)=-1.7分 因为V+(yo_1)~-1，°R解得兀0=--或兀0=W9—或寺3]22}所以点D的坐标为由于点D到直线y=-JIx+5的距离最短,(R门10分所以点D的坐标为2^,2•22/解法二：因为直线/的参数方程为x=V3r+>/3,&为参数，zeR),y=-3t+2消去r得直线/的普通方程为V3x+y-5=0.因为曲线Cx2+(y-l)2=l是以G(0,1)为圆心，1为半径的圆,因为点D在曲线C上，所以可设点£>(cos01+sin°)[0,2兀)).k/3cos^+sin^-4所以点D到直线/的距离为d=JJT因为来[0,2兀)，所以当(p=-时，d価=1・6W3),—,22<7(R2、,所以点D的坐标为—•I22丿10分(24)(I)解：当d=l时，/(x)>^等价于卜+1|—卜・1分①当兀5—1时，不等式化为一x-l+x>~,无解；2②当—lvxv0时，彳、等式化为x+1+x»解得—丄，解得x>0.3分 1综上所述，不等式/(%)>1的解集为一一,+oo•4分L4>(II)因为不等式f(x)>b的解集为空集，所以Z?>[/(x)]inax.5分以下给出两种思路求/(兀)的最大值.思路1:因为/(%)=%+a/^|-|x-a/1-^(0<6Zj~~~(i—>Jcl+Vl-~.当兀nyji-a时，/(兀)=兀+4a一兀+Jl-d二[ci+J—Cl.所以[/(x)h=«+V^・7分思路2：因为f(x)=x4-—x—-ClS兀+y/~U—兀+Jl—a-+当且仅当X>时取等号.所以_f(Q]n亦=罷+Jl-d・7分因为对任意QW[O,1],不等式f(X)>b的解集为空集，amax以下给出三种思路求g(Q)=丽+丿[二2的最大值.思路1：令g(tz)=V^4-V1-6Z,所以g2(d)=1+ci51+(V^)+(a/1-a=2.当且仅当丽=J匚万，即a=丄时等号成立.2 所以［弘)10分所以b的取值范围为(V2,+oo).思路2：令g(d)=VZ+Jl-d因为所以可设“曲今J则g(d)=石+Jl-d=cos&+sin&=血sin10分IT当口仅当0=-时等号成立.4所以b的取值范围为(V2,+oo).思路3：令g(d)=罷+/1-°因为OSdSl，设］则x2+/=1(0#^1,0#y1).|>,=Vl-a,问题转化为在x2+j2=1(0#x1,0#y1)的条件下,求乙=x+y的最大值.利用数形结合的方法容易求得z的最大值为V2,此时x—y——•2所以〃的取值范围为(V2,+oo).