二倍角的正弦余弦正切习题4

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1、引申与提高习题本章主要内容是三角变换及解三角形，其应用十分广泛.要求正确、熟练运用两角和、差、倍、半，以及积与和互化三组公式进行化简、求值、证明，并能解决其他相关问题；本章的公式多，要弄清公式间的内在联系，推导过程，熟悉公式的各种变形和全部公式的整体结构以及公式各自的作用.通过反复练习，熟练地掌握、灵活运用这些公式，为此，还应思考以下几个问题：一、三角函数的最值求三角函数的最值，一般是利用三角函数的性质，再结合代数中求最值的方法，如配方法、平均值法等.例1.求函数^=sin4x+cos4x的最值.解：j^=sin4x+cos4x=(sin2x+cos2x)~-2sin2xcos2

2、x=1sin22x2当sin2x=0时，尹最大=1；当sin2x=±lH寸，尹最小=*•例2.求函数尹=—也兰一(0TOvxV/r,/>0.22t2/V3・・y丁s—；—=——.3+12莎3在(0,7T)内存在使r2=3的角X,因此有，最大=晅.说明：万能置换法是求三角函数最值的常用方法，要灵活掌握.例3.求函数=2-SinV的最值.2-cosx解法一由原函数得sinr+ycosx=2—2尹，即sin(x+0)=：2),Jl+解得所以4-V7~3-4+77~3-4-V7尹最小二—;—4+万y^k=—；—解法二令“二cosx,v=

3、siax，贝9u2+v2=1它表示单位圆，于是只要求出共点直线系V=k（〃一2）+2的斜率的最值.易知，最值在直线与圆相切时取得.V4所以弊=1,*ViTF厂-解得"逹.~~—3._4-"_4+街・・尹最小=—§—，尹最大=—g—・说明：解法一利用三角函数性质

4、sinx

5、Wl,

6、cosx

7、Wl・解法二构造儿何模型，解法简捷.例4.已知OvqsQ,求函数y=(sinx+^z).(cosx+q)的最值•解：y=(sinx+a)•(cosx+a)=sinxcosx+a(sinx+cosx)+a2.令/=sinx+cosx,(-V2

8、—X+at+a2=丄[(/+q)2+&2_])].2当2一。时,y最小=*(q2_])•当/=近a时，人-a1+"a++.说明：用换元法，令/=sinx+cosx,既减少了变量，又明确了/的取值范围，使问题容易解决・例5.求外切于单位圆O的Rt/ABC的周长/的最小值.（如图）解设/D为x,BE=y,ZOAD=a,贝lj7=2（1+x+y）=2[1+cota+cot（45°-a）]=21+coscrFsinacos（45。-a）sin（45。-a）=21+sin45。sincrsin（45°-a）=21+cos（2a-45。）--—A当cos（2a—45°）=1吋，即2a=45

9、°,a=22.5°时,/XABC的周长的最小值为二、三角不等式未知数含在三角函数的自变量中的不等式叫三角不等式.其中最简单的三角不等式，可以利用三角函数线或三角函数图像来解、证明三角不等式需综合应用代数、儿何的基本不等式有关知识，并要熟练运用三角恒等变换公式.例6.求函数y=72sin2x4-14-lg(1-2tan2x)的定义域.分析函数定义域应满足不等式组2sin2x+1>0,即1-tan2%>0.sin2x>——，2tan2x

10、in4x+cos4X）’=—~::+1•44sinxcosx+1>9.1一(sin4兀+:sin2cos2兀•・・09.sirr2x所以［+一1］［斗一1卜久sinx丿'cosx丿三、综合运用知识三角函数既是解决数学各分支问题及相关学科问题的重要工具，乂与数学各分支有密切联系，因此必须重视知识的沟通与综合运用.4龙例8.求cos——的值.解：令/=cos——+zsin—55则以1,且z4=2cos^?-1=(/-1)(/4+?+r2+/+1)=0,•广+尸+广+/+1=0,-1=0.55Tcos——<0,5.4龙石+1••COS―•54例9.在

11、直角坐标系中，N4BC两个顶点C、力的坐标分别为（0,0）、（2V3,0）,三个内角力、B、C满足2sin=V3(sin+sinC)•（1）求顶点B的轨迹方程;（2）过顶点C作倾斜角为&的直线与顶点3的轨迹交于P、0两点，当&孑0,三］时,2丿求△/P0面积S（&）的最大值.分析：（1）由正弦定理得亠十旦十厶=2R,sinAsinBsinCT2sin5=V3(sin+sinC)2b=品(ci+c),V77=2^3,.・・q+c=4,即

12、BC

13、+

14、B/

15、=4・3点的轨迹是以C、/