8-9直线与圆锥曲线的位置关系

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1、8.9直线与圆锥曲线的位置关系一、选择题1．AB为过椭圆＋＝1中心的弦，F(c,0)为它的焦点，则△FAB的最大面积为(　　)A．b2B．abC．acD．bc解析：设A、B两点的坐标为(x1，y1)、(－x1，－y1)，则S△FAB＝

2、OF

3、

4、2y1

5、＝c

6、y1

7、≤bc.答案：D2．直线y＝kx＋2与抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k的值为(　　)A．1B．1或3C．0D．1或0解析：由得ky2－8y＋16＝0，若k＝0，则y＝2，若k≠0，则Δ＝0，即64－64k＝0解得k＝1，因此直线y＝kx＋2与

8、抛物线y2＝8x有且只有一个公共点，则k＝0或k＝1.答案：D3．已知椭圆C的方程为＋＝1(m>0)，如果直线y＝x与椭圆的一个交点M在x轴上的射影恰好是椭圆的右焦点F，则m的值为(　　)A．2B．2C．8D．2解析：根据已知条件c＝，则点(，)在椭圆＋＝1(m>0)上，∴＋＝1可得m＝2.答案：B4．斜率为1的直线l与椭圆＋y2＝1相交于A、B两点，则

9、AB

10、的最大值为(　　)A．2B.C.D.解析：设椭圆截直线于A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由消去y，得5x2＋8tx＋4(t2－1)＝0.则有x

11、1＋x2＝－t，x1x2＝.∴

12、AB

13、＝

14、x1－x2

15、＝·＝，当t＝0时，

16、AB

17、max＝.答案：C二、填空题5．直线y＝kx＋1与椭圆＋＝1恒有公共点，则m的取值范围是______．解析：∵方程＋＝1表示椭圆，∴m>0且m≠5.∵直线y＝kx＋1恒过(0,1)点，∴要使直线与椭圆总有公共点，应有：＋≤1，m≥1，∴m的取值范围是m≥1且m≠5.答案：m≥1且m≠56．直线y＝kx－2与抛物线y2＝8x交于A、B不同两点，且AB的中点横坐标为2，则k的值是________．　解析：设A(x1，y1)、B(x2

18、，y2)，由消去y得k2x2－4(k＋2)x＋4＝0，由题意得∴即k＝2.答案：27．倾斜角为的直线交椭圆＋y2＝1于A、B两点，则线段AB的中点M的轨迹方程是________．解析：设M(x，y)，A(x1，y1)，B(x2，y2)，则有＋y＝1，①＋y＝1，②①－②得(x1＋x2)(x1－x2)＋(y1＋y2)(y1－y2)＝0.③又直线AB的斜率k＝tan＝＝1，∴y1－y2＝x1－x2.④由中点坐标公式得＝x，＝y，即x1＋x2＝2x，y1＋y2＝2y.⑤把④⑤代入到③中得x＝－4y，∴直线方程为x＋

19、4y＝0，由　得x2＝.∴x1＝－，x2＝.∴点M的轨迹方程为x＋4y＝0(－

20、PQ

21、＝，求椭圆方程．解答：设椭圆方程为mx2＋ny2＝1(m>0，n>0，且m≠n)，设P(x1，y1)，Q(x2，y2)．由消去y，整理得(m＋n)x2＋2nx＋n－1＝0，Δ＝4n2－4(m＋n)(n－1)>0，即m＋n－mn>0，OP⊥OQ等价于x1x2＋y1y2＝0，将y1＝x

22、1＋1，y2＝x2＋1代入，整理得2x1x2＋(x1＋x2)＋1＝0，∴－＋1＝0⇒m＋n＝2，①由弦长公式，得2·＝()2，将m＋n＝2代入，得mn＝.②解①②得或显然满足Δ>0，故所求椭圆的方程为＋＝1或＋＝1.9．过抛物线焦点F的直线交抛物线于P、Q两点，PQ的垂直平分线交抛物线的对称轴于R点，求证：

23、FR

24、＝

25、PQ

26、.证明：证法一：如图设抛物线方程为y2＝2px，p＞0则直线PQ的方程为y＝k(x－)，k≠0，设P、Q两点的坐标为(x1，y1)，(x2，y2)由得k2x2－p(k2＋2)x＋＝0，∴Δ

27、＝p2(k2＋2)2－4k2＝4p2k2＋4p2.且x1＋x2＝，x1x2＝，

28、PQ

29、＝

30、x1－x2

31、＝.由＝，得＝k(－)＝k＝.∴直线PQ垂直平分线的方程为y－＝－，令y＝0，得x＝p＋，∴

32、FR

33、＝－＝.因此

34、FR

35、＝

36、PQ

37、.证法二：设P、Q两点坐标为(，y1)、(，y2)，由直线PQ过F点可证y1y2＝－p2，

38、PQ

39、＝＝，直线PQ的斜率为＝.∴直线PQ垂直平分线方程为y－＝－(x－)，令y＝0，得x＝p＋，∴

40、FR

41、＝(p＋)－＝＝，则

42、FR

43、＝

44、PQ

45、.证法三：如上图，PQ的中点为M，过P、Q、

46、M分别作PP′、MM′、QQ′垂直于抛物线的准线x＝－，连结M′F、M′P，由抛物线的定义得

47、MM′

48、＝(

49、PP′

50、＋

51、QQ′

52、)＝(

53、PF

54、＋

55、QF

56、)＝

57、PQ

58、＝

59、MP

60、，∴∠M′PM＝∠PM′M＝∠P′PM′.又

61、PP′

62、＝

63、PF

64、，PM′为△PM′P′与△PM′F的公共边，∴△PM′P′≌△PM′F，则M′F⊥PQ.又MR⊥PQ，∵M′F∥MR，又MM′∥FR，∴四边形FRMM′为平行四边形