1静电场标势及微分方程

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1、第二章静电场A带电体系：电荷静止，所激发的电场不随时间变化；＞给定自由电荷的分布以及周围空间介质或者导体的分布，运用电磁场理论求解这样的带电体系的电场。§1静电场的标势及其微分方程1、静电场的标势静电势麦克斯韦方程=VxE=-—dt——3D—=v，jB=0静电条件：

2、•（物理量）=ootJ=0将静电条件代入麦克斯韦方程得到VxE=OVD=/?VxH=OVB=O◊在静电条件下，电场和磁场相互独立，可以分开求解；◊静电场是无旋场；自由电荷分布是°的源。解决静电问题的基本方程：微分方程VD=pVx£=O+边界条件+介质的电磁性质方程静电势的定义:静电场的无旋性是静电场的一个重要的特征，其积分

3、形式为——（1.3）“电场沿任一闭合回路的线积分等于零。”将单位电荷从Pi点移至Pi点时电场对它所做的功Edl将单位电荷从片点移至目点时电场对它所做的功与具体的路径无关，只与起点和终点有关。£Edf=O・i—>p—>—>E-dZ=EdlJC]Jc°利用这一特点，引入电势的概念，是空间位置的标量函数（标势）；定义两点间的电势差为fP）->-*©（£）—0（片）=—~EAlJP——（1.4）推论：A如果电场对（单位）正电荷做正功，则电势降低；>只有两点的电势差才具有物理意义；A如果知道空间的电场的分布，则可以计算空间任意两点间的电势差；A实际的计算中为了方便，常选取某个参考点，规定该点

4、的电势为零，这样整个空间里的电势就有一个确定的值。如果电荷分布在有限的空间里，则可以取无穷远处的电势为零，即0（oo）=0这样空间P点的电势为^(P)=[£d/相距为"的两点的电势的增量为—►—1d(p=—E・dZ式中3=西血+沏3%汕+凱&(p-Bep+亍+越I•(exdx+eydy+e=7(p・dl从而得到，E=-N（p——（1.5）A如果知道了空间电势的分布情况，则可采用上式计算电场强度的分布。点电荷的电势分布情况：点电荷的电场分布E（f）=Q4码厂EAr—尹d尹4亦討多个点电荷所激发的电场的电势为每个点电荷所激发电场的电势的代数和。对于电荷连续分布的情况:(p(x)=f旦a#]

5、v47TE0r丘代表场点的位置坐标；元代表电荷源的位置坐标；厂代表从源点到场点的距离。电荷为线分布，则电势可表示为0(丘)=(寻仏/JL4兀£°厂A如果空间中的电荷分布都给定，则可根据此公式求出空间里电势的分布，然后求得电场的分布；A实际问题中，往往不是所有的电荷的分布都能预先给定的。例题：均匀带电的无限长直导线的电荷线密度为2,求电势分布。解：设场点P到导线的垂直距离为人，电荷元加Z到P点的距离为"EMBEDEquation.3VZ2+R2o根据电势的计算公式於7葺扣dz24亦°g匚4隔於）=limInZT8z+7z2+t?2-Z+a/z2+7?2上一limlnl+f+^/Z24亦°

6、ZT8-1+J1+T?7z2由于电荷的分布不是在有限的区域，导致上述积分发散。实际上，有意义的只是两点间的电势差。limIn4亦oZToo1+J1+R2/zIl+Jl+Rj/z?'、-1+J1+F/Z21+J1+&/Z2丿limIn4码ztoo'1+J1+R2/z2—l+Jl+Rj/Z?'J+J1+&/Z2—1+J1+R；/ZJ—+nS（另^小量）利用近似公式（1+》）"得到QlimIn4亦°ZToo0（P）-0（£））=1R2、2+丄圧R2/Z2<2Z丿4亦°R2亦°如果取几点为零电势点，即0侃）=0,则有2。（怜叭W）根据电荷（电势）分布的对称性，电场只有径向分量E,E"也=丄丄

7、尺3R2亦°R此结果与采用高斯定理求得的结果是一致的。2、静电势的微分方程和边值关系1）电势的微分方程对于均匀、各向同性、线性介质，有电磁性质关系D-eE——(1.2)1.2)E=-Ncp%（对=—曲£pG）为自由电荷的分布；上式为静电势满足的微分方程，称为泊松方程。2）介质分界面上，静电势的边值关系：考虑介质1和2分界面两侧相邻的两点Py和P2,这两点的电势差为rp2->f0（£）—0站）=—；£-dZ由于在介质的分界面处电场是有限，在积分路径非常小的情况下，右边的积分值趋近于零，因此介质分界面两侧的电势相等。0（乙）一0（片）=0或者0(£)=0(片)即在介质的分界面处电势是连续的

8、；“电势连续”与“电场强度切向分量连续”的边界条件是完全等价的。厉2iX（元2一E）=0从图中看出，由于电势连续，01（A）=%（£）%（H）=02（R）从而有%（尺）-％（片）=02（只）-02（场）假设从A（R）到鬥（R）的位矢为人7则有01（片）—01（片）=—&•02（§）-02®）="2*A'所以Ex-AZ=E2-AZ此式表示电场沿界面的切向分量相等。在介质存在的情况下，有关电场的另一个边值关系^2i（P2-D｝）=（yf——(1.1