静电场的标势及其微分方程

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1、第二章静电场1§1静电场的标势及其微分方程一、静电场的标势对于静电场引入标势（标量函数）2静电场电场强度的积分与路径无关，只取决于初末位置。标势就是电磁学中的静电势。某点电势值与参照点的选择有关，常选无穷远处电势为0，P点的电势为对于空间中两点3对于单个点电荷系统：对于多个点电荷系统：对于电荷连续分布的带电体：二、静电势的计算三、静电势满足的微分方程及边值关系1.静电势满足的微分方程对线性均匀介质这称为Poisson方程。42.静电势满足的边值关系设P1和P2为介质界面两侧邻近两点由于电场有限，两点的距离趋于零这一关系与等价在介质分界面处选择

2、四个点，P1与P2邻近，P1′与P2′邻近。P1到P1‘的距离△l足够小，故Dl取向具有任意性，故在界面两侧，电场强度切向分量相等。解释：5j为导体外表面附近的电势，法向由导体内指向导体外对于导体电势的另一边值关系由电场法向分量边值关系得到，6线性介质中静电场的总能量上式还可以表为四、静电场能量7不应视为电场的能量密度。对于静电场，也不能认为电场能量只是存储于电荷分布的空间，更不能认为存储于电荷；只是对于静电场，能量才可表为这表明电场能量与电荷分布有关。对于随时间变化的电场，磁场亦要激发电场，电场总能量不能完全通过电荷分布来表示。讨论：8设坐

3、标原点O的电势为零均匀电场不衰减，不宜选无穷远处为零势点。导线单位长度带有电荷为t,在P点的电势为解：解：Ex.2均匀带电的无限长直导线的电势。Ex.1均匀电场的电势。9积分结果是发散的。这是由于电势零点（无穷远处）选择不当造成（电荷分布至无穷远），重新选择在面上距离导线R0的P0点为零点，仅考虑-M到M的有限导线，10对于无穷长的导线（利用了洛比达法则）设P0点为电势零点由高斯定理可得相同结论。11静电学的基本问题：求满足边界条件的泊松方程的解。在什么样的边界条件下，电场是唯一的？考察系统：含有介质空间V可分为若干个均匀区域Vi，其中区域V

4、i内充满电容率为ei的均匀介质。唯一性定理：给定区域内自由电荷分布，且给定边界面上或者，则区域内电场唯一确定。§2唯一性定理问题：讨论：1）在数学上矢量场的唯一性定理：一个矢量场被它的散度、旋度和边值条件唯一确定。2）上述条件决定的静电势可以相差一个常数，它们对应同一个电场。一、绝缘介质情形的唯一性定理12(反证法)假设存在两个不同的解满足方程和边界条件。令，在每个均匀分区内有在两均匀介质分区的分界面上证明：13对第i个均匀介质分区，运用高斯定理，有对于上式左端积分，在分界面两边，有所以，在内部分界面上的积分为0，第一种情形：给定外表面上电势

5、上式左端积分为零。第二种情形：给定外表面处法向微商上式左端积分也为零。14电势附加常量对电场无影响，所以电场是唯一确定的。第一类：给定导体表面上的第二类：给定导体上的电荷对于第一类边界条件，只要把导体存在的空间扣除，即可证明电场被唯一确定。对于第二类边界条件，在导体外，电荷分布给定，大区域表面上电势或电势的法向导数给定；每个导体上的总电荷给定。二、有导体存在情形的唯一性定理1.两类边界条件15对于第i个导体，选择包裹该导体的封闭曲面为高斯面，法线方向由导体内指向外。（反证法）设有两个不同电势均满足Poisson方程，令对于每个导体证明：16对

6、于扣除导体的空间体积导体表面电势是常数，（不能写为零）在区域外表面，。所以，电场唯一确定。可以猜想，电场强度这样的电场强度对应的电势满足Poisson方程。这样的解在介质分界面处满足边值关系：电场强度切向分量连续，电位移矢量法向分量连续；导体表面是等势面。Ex.17只要满足导体球上带电量为Q的条件，由唯一性定理，猜想的电场就是要求的解。作一包裹导体球的Gauss面，18如果在考察的空间内没有电荷分布，电势满足Laplase方程它可以用分离变量法求解。在球坐标下其解为为缔合勒让德（Legendre）函数。静电场问题变为根据边值关系确定式中待定系

7、数的问题。§3拉普拉斯方程分离变量法19轴对称情形：为Legendre函数。20由于系统具有球对称性，所以电势应该与q无关，有n=0内部导体球接地，导体壳是个等势体，选择包含球壳的面为高斯面（有两个球面）Ex.1接地导体球与带电导体球壳21无穷远处电势为零，现求解导体球上感应电荷，选择包裹导体球的球面为高斯面，22极化电荷是有限的，对无穷远处的电场无影响。所以，在无穷远处Ex.2均匀外电场中的介质球。在坐标原点，电势应有限，23在介质球表面处，电势满足勒让德函数是相互正交独立的函数，所以对于不同的n值，它们的系数应该相等。比较P1的系数，24

8、比较Pn(n不为1)的系数，所以251）球内电场如右图所示，球内电场比原电场弱。讨论：262）介质球内的极化强度介质球的总电偶极矩电偶极矩激发电场的电势这正好是球外