同济弹性力学习题解答

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1、习题解答笫二章2.1计算:(1)SpiSiqSqjSjk,⑵CpqiCijkAjk>⑶£血£絢/肘场。解：⑴3pi3qj3jk=3pq3q)3jk=^pj^jk~pk>(2)epqifijkAj&=(6pj6qk—&pR&ti)Ajk=Apq—A胪；(3)QjpeidpBkiBij=@©ji-j込BjuBij=BaB»—BjiBg。2.2证明:若ay-an,则eiikajk=0。证：2匕z*—eijkCijk+f旳Qq=0秋Q从—Cijkdkj=仑皿氷一匕於。从=0。2.3设a.〃和c是三个矢量，试证明:aaabacbabbbe=[a,b.c^cacbccaaabaccitUi(lbciiCi

2、aa2如abiC证：babbbe—btaibibib^i—h[bib3a2b2ci=[a,b,c『。cacbccegCibiCiCiCC2C3a3b3c32.4设a、b、c和〃是四个矢量•证明：(axb)(cxd)=(ac)(bd)-(ad)(bc)ffi：(axA)-(cxrf)=aibjeijktk^Cidmelmflen=aibjcldmeijkeimk=OibjCidm(8u8jm-8im8ji)=(aiCi)(bjdj)一(ad)劄2*=(“c)(力•〃)-(“。2.5设有矢量u=u^,。原坐标系绕Z轴转动&角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量"在新坐标系中的分量。解

3、：0n=cos&,/?r2=sin&,血二。，02j=-sin&,02,2=cos&,023=0,角1=0,角2=0,角3=1。wr=0fiUi=w)cos&+U2sin&,Wy=/]2iui=-W

4、Sin^+w2cos^,wy=P

5、皿加2•认为n+/n阶张量，试证明如“是n阶张量。证：为书写简单起见，取介=2,772=2,则Cijki—AijBki‘在新坐标系中,冇(a)Cfj*Y=ArfBkY因为

6、，试证明：(1)axA=-(A'xaY,(2)Axa=-(axAr)T证：(1)-(ATxa)T=-(A>zef®akeJk„eny=-(Aiiakejlinel®e„)7=-A加久5©®e„=akekXAjnej®etl=axA。(2)-(axAT)T=-(aielxAklei®eky=-(£e©“e”®eQ7'=-(An/aieijken®ex.)=An/en0a疋川e&=Aiyell®ejXa,ei=Axa2.10己知张量卩具冇矩阵j23_[T]=456_789求T的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：丁的对称部分具有炬阵ri35_kTWV)=357,

7、_579_T的反对称部分

8、具冇矩阵「0-1-2U[T]-[T]T)=10-1o

9、_210_和反对称部分对应的轴向矢量为(o—^—2e?+e3。2.11已知二阶张量771勺矩阵为「3-10_[T]=-130001求T的特征值和特征矢屋。3-A-10解：-13-/10=(1-/1)[(3-A)2-1J=O001-A由上式解得三个特征值为九=4,入=2,入=1。将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45),可以求出三个特征矢量为2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征欠量：A=al+fitn®m、B=m®n+n®m其屮，。和0是实数，加和巾是两个相互垂直的单位矢量。解：因为/・m=(crZ+(3m®m)ni

10、={a+/3)m,所以m)kA的特征矢量，G+0是和其对应的特征值。设a是和m垂直的任懑单位矢量，则冇Aa=(al+pm®m)a=aa所以和加垂直的任意单位矢量都是/的特征矢量，相应的特征值为Q,显然Q是特征方程的重根。令2+5)，“=-^=(tn-n),e3V2上而定义的©是相互垂直的单位矢量。张量〃可以表示成〃=()◎®ei—e>+63所以,三个特征值是1、o和一1,对应的特征矢量是®、©和e