弹性力学同济弹性力学习题解答.doc

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1、习题解答第二章2.1计算：(1)，(2)，(3)。解：(1);(2);(3)。2.2证明：若，则。证：。2.3设、和是三个矢量，试证明：证：。2.4设、、和是四个矢量，证明：证：。2.5设有矢量。原坐标系绕轴转动角度，得到新坐标系，如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。解：，，，，，，，，。，，。2.6设有二阶张量。当作和上题相同的坐标变换时，试求张量在新坐标系中的分量、、和。解：变换系数同上题。，，，。2.7设有个数，对任意阶张量，定义若为阶张量，试证明是阶张量。证：为书写简单起见，取，，则，在新坐标系

2、中，有(a)因为和是张量，所以有比较上式和式(a)，得由于是任意张量，故上式成立的充要条件是即是张量。2.8设为二阶张量，试证明。证：。2.9设为矢量，为二阶张量，试证明：(1)，(2)证：(1)。(2)2.10已知张量具有矩阵求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解：的对称部分具有矩阵，的反对称部分具有矩阵。和反对称部分对应的轴向矢量为。2.11已知二阶张量的矩阵为求的特征值和特征矢量。解：由上式解得三个特征值为，，。将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45)，可以求出三个特征矢量为，

3、，。2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量：，其中，和是实数，和是两个相互垂直的单位矢量。解：因为，所以是的特征矢量，是和其对应的特征值。设是和垂直的任意单位矢量，则有所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量，相应的特征值为，显然是特征方程的重根。令，，则有，上面定义的是相互垂直的单位矢量。张量可以表示成所以，三个特征值是1、0和－1，对应的特征矢量是、和。2.13设和是矢量，证明：(1)(2)证：(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同，在此略。(2)2.14设，求及其轴向矢量。解：由上

4、式很容易得到轴向矢量，也可以按下面的方法计算轴向矢量。2.15设是一闭曲面，是从原点到任意一点的矢径，试证明：(1)若原点在的外面，积分；(2)若原点在的内部，积分。证：(1)当时，有(b)因为原点在的外面，上式在所围的区域中处处成立，所以由高斯公式得。(2)因为原点在的内部，所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。用表示由和所围的区域，在中式(b)成立，所以即在上，，，于是。2.16设，试计算积分。式中是球面在平面的上面部分.解：用表示圆，即球面和平面的交线。由Stokes公式得。第三章3.1

5、设是矢径、是位移，。求，并证明：当时，是一个可逆的二阶张量。解：的行列式就是书中的式(3.2)，当时，这一行列式大于零，所以可逆。3.2设位移场为，这里的是二阶常张量，即和无关。求应变张量、反对称张量及其轴向矢量。解：，，，3.3设位移场为，这里的是二阶常张量，且。请证明：(1)变形前的直线在变形后仍为直线；(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面；(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证：(1)方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成(1)其中是可变的参数。变形后的矢径为(2)用点积式(

6、1)的两边，并利用式(2),得上式也是直线方程，所表示的直线和矢量平行，过矢径为的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。(2)因为，所以可逆。记，则(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成(4)其中是和平面垂直的一个常矢量，是常数。将式(3)代入式(4)，得(5)上式表示的是和矢量垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3)变形前两个平行的平面可以表示成，变形后变成，仍是两个平行的平面。3.4在某点附近，若能确定任意微线段的长度变化，试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化；反之，若能确定某点附近任

7、意两条微线段之间的夹角变化，试问能否确定任意微线段的长度变化。答案：能；能。3.5设位移场为，其中是二阶常张量，和是两个单位矢量，它们之间的夹角为。求变形后的减小量。解：和方向的正应变分别为，用和代替式(3.11)中的和，经整理，得的减小量为又，所以。3.6设和是两个单位矢量，和是两个微小的矢量，变形前它们所张的平行四边形面积为，试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来，其中是面积变形前后的改变量。解：变形后，和变成，对上面两式进行叉积，并略去高阶小量，得对上式两边进行自身点积，略去高阶小量，得(a)注意到所

8、以，从式(a)可得利用习题2.4中的等式，上式也可写成3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为，让坐标系绕轴转动角，得一个新的坐标系，求在新坐标系中的应变分量。解：，，，，，，，，。，，，，，3.8在平面上，、、和轴正方向之间的夹角分别为、、，如图3.9所示，这三个方向的正应变分别为、和。求平面上任意方向的相对伸长度。解：在平面中，和方向成角的方向，其方向余弦为，，这一方向的相对伸长度