弹性力学习题解答

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1、弹性力学习题解答 2003.5.21      1．试证下述为双调和函数：         ；；，（1）其中。反之，任一双调和函数可写成上述三种形式。证明:“”：设（1）成立。先对（1）式计算一次拉普拉斯运算：            ，   ，从上述三式，不难看出为双调和函数。 “”：首先，我们有下面两个引理，引理1：设为调和函数，则存在函数，使为的共轭调和函数，即满足：          引理2：若为一对共轭调和函数，则存在另一对共轭函数，使得下式成立：            下面我们将证明任一双调和函数都可写成（1）

2、式的三种形式。令，显然有。根据上面两个引理，我们总可以找到三个调和函数满足：（2）由（2）式，有得从而其中。将上式移项即得（1）的第1式。由（2）式有得从而其中。将上式移项即得（1）的第2式。从（1）的第1、2两式，可得令    则   只要指出与为调和函数，即完成逆命题的证明。事实上，       （3）利用（3）式和（2）式，我们有：   由很容易验算。由此完成了证明。 逆命题的第二种证明按Мусхелишвили的复变公式，对调和函数，总存在两个复解析函数和，使得表成   （4）其中表示实部。今将（4）改写成如下三

3、种形式：                                     不难看出上述三式分别就是（1）式中的三个式子，且有                                     2．若平面应力问题的Airy应力函数已知，则位移可如下给出：                           其中：证明：我们知道用Airy应力函数表示的应力分量为：       从而由本构关系可得：  考虑到：  所以应变分量可以写成：     将上式整理后可得到：  按此式，把，看成是位移场，它们所形成的应变场

4、为零，于是依照第二章§6中Volterra公式的推论6.1，可知此位移场应为刚体位移场。如果不计刚体位移，那么   此式即为用应力函数表示出来的位移场。