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时间:2018-11-26
《弹性力学基础(程尧舜-同济大学出版社)课后习题解答》由会员上传分享,免费在线阅读,更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、习题解答第二章2.1计算:(1),(2),(3)。解:(1);(2);(3)。2.2证明:若,则。证:。2.3设、和是三个矢量,试证明:证:。2.4设、、和是四个矢量,证明:证:。2.5设有矢量。原坐标系绕轴转动角度,得到新坐标系,如图2.4所示。试求矢量在新坐标系中的分量。解:,,,,,,,,。,37,。2.6设有二阶张量。当作和上题相同的坐标变换时,试求张量在新坐标系中的分量、、和。解:变换系数同上题。,,,。2.7设有个数,对任意阶张量,定义若为阶张量,试证明是阶张量。证:为书写简单起见,取,,则,在新坐标系中,有(a)因为和是张量,所以有比较上式和式(a)
2、,得由于是任意张量,故上式成立的充要条件是即是张量。2.8设为二阶张量,试证明。证:。2.9设为矢量,为二阶张量,试证明:37(1),(2)证:(1)。(2)2.10已知张量具有矩阵求的对称和反对称部分及反对称部分的轴向矢量。解:的对称部分具有矩阵,的反对称部分具有矩阵。和反对称部分对应的轴向矢量为。2.11已知二阶张量的矩阵为求的特征值和特征矢量。解:由上式解得三个特征值为,,。将求出的特征值代入书中的式(2.44),并利用式(2.45),可以求出三个特征矢量为37,,。2.12求下列两个二阶张量的特征值和特征矢量:,其中,和是实数,和是两个相互垂直的单位矢量。
3、解:因为,所以是的特征矢量,是和其对应的特征值。设是和垂直的任意单位矢量,则有所以和垂直的任意单位矢量都是的特征矢量,相应的特征值为,显然是特征方程的重根。令,,则有,上面定义的是相互垂直的单位矢量。张量可以表示成所以,三个特征值是1、0和-1,对应的特征矢量是、和。2.13设和是矢量,证明:(1)(2)证:(1)这一等式的证明过程和书中证明式(2.14)的过程相同,在此略。(2)2.14设,求及其轴向矢量。37解:由上式很容易得到轴向矢量,也可以按下面的方法计算轴向矢量。2.15设是一闭曲面,是从原点到任意一点的矢径,试证明:(1)若原点在的外面,积分;(2)若
4、原点在的内部,积分。证:(1)当时,有(b)因为原点在的外面,上式在所围的区域中处处成立,所以由高斯公式得。(2)因为原点在的内部,所以必定存在一个以原点为球心、半径为的球面完全在的内部。用表示由和所围的区域,在中式(b)成立,所以即在上,,,于是。2.16设,试计算积分。式中是球面在平面的上面部分.解:用表示圆,即球面和平面的交线。由Stokes公式得37。第三章3.1设是矢径、是位移,。求,并证明:当时,是一个可逆的二阶张量。解:的行列式就是书中的式(3.2),当时,这一行列式大于零,所以可逆。3.2设位移场为,这里的是二阶常张量,即和无关。求应变张量、反对称
5、张量及其轴向矢量。解:,,,3.3设位移场为,这里的是二阶常张量,且。请证明:(1)变形前的直线在变形后仍为直线;(2)变形前的平面在变形后仍然是一个平面;(3)变形前的两个平行平面在变形后仍为两个平行的平面。证:(1)方向和矢量相同且过矢径为的点的直线方程可以写成(1)其中是可变的参数。变形后的矢径为(2)用点积式(1)的两边,并利用式(2),得上式也是直线方程,所表示的直线和矢量平行,过矢径为的点。所以变形前的直线变形后仍然是直线。37(2)因为,所以可逆。记,则(3)变形前任意一个平面的方程可以表示成(4)其中是和平面垂直的一个常矢量,是常数。将式(3)代入
6、式(4),得(5)上式表示的是和矢量垂直的平面。所以变形前的平面在变形后仍然是平面。(3)变形前两个平行的平面可以表示成,变形后变成,仍是两个平行的平面。3.4在某点附近,若能确定任意微线段的长度变化,试问是否能确定任意两条微线段之间夹角的变化;反之,若能确定某点附近任意两条微线段之间的夹角变化,试问能否确定任意微线段的长度变化。答案:能;能。3.5设位移场为,其中是二阶常张量,和是两个单位矢量,它们之间的夹角为。求变形后的减小量。解:和方向的正应变分别为,用和代替式(3.11)中的和,经整理,得的减小量为又,所以。3.6设和是两个单位矢量,和是两个微小的矢量,变
7、形前它们所张的平行四边形面积为,试用应变张量把变形时它的面积变化率表示出来,其中是面积变形前后的改变量。解:变形后,和变成,对上面两式进行叉积,并略去高阶小量,得对上式两边进行自身点积,略去高阶小量,得37(a)注意到所以,从式(a)可得利用习题2.4中的等式,上式也可写成3.7设在一个确定的坐标系中的应变分量为,让坐标系绕轴转动角,得一个新的坐标系,求在新坐标系中的应变分量。解:,,,,,,,,。,,,,,3.8在平面上,、、和轴正方向之间的夹角分别为、、,如图3.9所示,这三个方向的正应变分别为、和。求平面上任意方向的相对伸长度。解:在平面中,和方向成角的方向
8、,其方向余
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