定积分应用(平面图形面积)例题及习题解答

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1、定积分应用1、直角坐标系下平面图形面积的计算①连续】11

2、线y=f(x)(f(x)>O)Rx=aJx=h及兀轴所围成的平而图形而积为^f(x)dx②设平而图形山上下两条曲线)=广上⑴与)=f心)及左右两条肓线与x=b所

3、韦

4、成，则血•积元素为[ffr(x)]dx,于是平而图形的而积为：S=W-.Af(x)]dx.③连续曲线兀=久刃(0(y)»0)及y=c,y=d及V轴所围成的平iM图形面积为A=[0(y)〃y④由方程X=01(y)与X=02(歹)以及y=y=d所围成的平面图形面积为A=f”(y)—0(y)〕dy翎>©)例1计算两条抛物线y=0与兀=y2所围成的而积.要先

5、找出交点处标以便确定积分限，为此解方程组:解求解而积问题，一般需要先画一草图(图3),我们要求的是阴影部分的而积.需y=x2x=y2得交点(0,0)和(1,1).选取兀为积分变量，则积分区间为[0,1],根据公式(1),所求的面积为3lo3—•般地，求解而积问题的步骤为：(1)作草图，求曲线的交点，确定积分变最和积分限.(2)写出积分公式.(3)计算定积分.例2计算抛物线r=2v与直线)=x-4所围成的图形的面积.解(1)画图.(2)确定在y轴上的投影区间：L-2,4J.(3)确定左右曲线:0左(刃=如2,0右(y)=y+4.⑷计算积分s=匸。+4-号y2）dy二母y2

6、+4）一”,3］役=］8.例3求在区间［丄，2］上连续

7、11

8、线y=lnx,x轴及二直线x=-，与x二2所围成平面区22域（如图2）的面积o解：已知在［$2］上，in淀°;在区间•2!Inxdx+Inxdx［1,2］上，Inx$0，则此区域的面积为:Ji

9、lnx^/x=22(xx-x)11二-(xx-x)i+T4ln2-1•29例4求抛物线y=x与x-2y-3=0所围成的平面图形（图3）的面积A。解：该平而图形如图所示.先求出抛物线与肓线的交点P仃，-1）与Q（9,3）.用x=l把图形分为左、右两部分，应用公式（1）分别求的它们的面积为：A2=32所以“£+每飞

10、木题也可把抛物线方程和肓线方程改写成:X二/二gi（y）,x=2y+3二g2（y）2（y），y©［T,3］.并改取积分变量为y,便得：A二［Ig2（刃-g1（刃dy=£（2y+3-）/）dy=¥•oX例5求由两条曲线y二x,y二一和直线y=l围成的平面区域(如图5)的面4积.解法一：此区域关于y轴对称，其而积是第一象限那部分面积的二倍。在第9x2—象限中,直线y=l与曲线y=x与y=——的交点分别是(1,1)与(2,1).4此区域的面积为：A二2(fX1dx+

11、Jx-J—dx)-—.解法二将y轴看作是自变数。在第一彖限的那部分区域是由曲线x=4y，X=2*和直线尸1所

12、围成(y作自变数)。此区域的面积为:4二2［(277_77呛=2』77狞=y例6求下列I1U线所I韦I成的图形的面积(1)抛物线y2=-与直线x-2y=4f(2)圆%2+y2=lax.解(1)先画图，如图所示，'2_£并由方程{y一3，求出交点为(2,-I),(8,2).兀_2歹=4解一取y为积分变量,y的变化区间为［-1,2］,在区间［-1,2］上任取一子区间［y,y+dy］,则面积微元dA=(2y+4—2y2)dy,则所求面积为A=『(2y+4—2y2)dy=(}J2+4y-

13、-y3)：=9.丿一13解二取X为积分变量，X的变化区间为［0,8］,由图知，若在此区间上

14、任取子区间，需分成［0,2］,［2,8］两部分完成.在区间［(),2］上任取一了区间［尢，x+dx］,则面积微元旳=［2占］dr,在区间［2,8］上任取一了区间［x,x+dr］,则面积微元心硝冷(—)2,丁是得+2x]2=9.例7求rtiltti线y2=2x与BL线y=x-4所囤成的平面图形的血•积.解作图(图4),解方程组Jy2-2x[y=x-4得两条Illi线的交点处标为(2,-2),(8,4).选取y为积分变量，积分区间为1-2,4].根据公式(2),所求的面积为「41os=£(.y+4--y)dy_12.1彳丫。=—y2+4y——y3=1826图4练习题解答★1

15、.求由曲线y=頁与直线y=x所围图形的而积。思路：由于所围图形无论表达为X・型还是Y■型，解法都较简单，所以选其一做即可解：见图6-2-1•・•所围区域D表达为X-型:(或D表达为Y-型：°2

16、y2=-x+44i■•