第四讲二次函数

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1、第四讲二次函数一、选择题1•已知函数/(x)=-x2+4x,x^[mf5的值域是

2、-5,4

3、,则实数加的取值范围是()A.(—8,—1)；B.(—1,2]；C・[—1,2]；D・

4、2,5)；答案C解析二次函数f(x)=-x2+4x的图像是开口向下的抛物线，最大值为4,且在x=2时取得，而当x=5或一1时，f(x)=—5,结合图像可知m的取值范围是

5、-1,2

6、.二、填空题2.函数f(x)=x2+2xf若J{x)>a在区间[1,3]上满足：①恒有解，则a的取值范围为;②恒成立，贝九的取值范围为•答案a<15a<3解

7、析①心)在区间[1,3]上恒有解，等价于又J(x)=x2+2x且xW[1,3],当x=3时，(Ax)]max=15,故a的取值范围为X15.®f(x)>a在区间[1,3]上恒成立，等价于a<[f(x)]minf又f(x)=x2+2x且兀丘[1,3],当兀=1时，[A^)]min=3,故4的取值范围为X3・3.对实数a和〃，定义运算“□”：=,设函数/(r)=(X2—2x)D(x—[a,a-b<13)(兀WR).若函数y=f(x)—k的图象与x轴恰有两个公共点，则实数k的取值范围是解析因^a®h=ra~b>a^a

8、-b<1所以几0=(x2-2x)Q(x-3)(x2—2xf(x2—2x)—(x—3)<1[x—3,(x2—2x)—(x—3)>1x2—2x,l2y=f(x)-k的图象与X轴恰有两个公共点，即丿的图象与y=k的图象恰有两个公共点.由图知当且仅当一1<広0时，y=f(x)的图象与y=k的图象恰有两个公共点,故所求k的取值范围是（一1,0].答案（T,0]【例8】设函数/'（*）=亍+Q+方，若Vxe使得/（刃=/（兀）+”则a的最大值是.、2W:=f(y)-y=y2+(a-)y+b=j+

9、L)7、.crL「)(—1)2)—，+°°，4丿2a2+〃-〒,・••f(x)eb—,+0042b-—.+cQub-4J"L又£(工)=兀2^ax+b=x+—要满足题设条件,只须:-—=>«<—442【例51（2015衢州质检）已知函数/*（对=x2-2x,若关于兀的方程:

10、/（x）

11、4-

12、f（a-x）-t^0有4个不同的实数根，且所有实数根之和为2,则实数（的取值范围为解:设g(x)=f(x)+f(a-x).因为g(a-x)=

13、f(a-x)+f[a-(a-x)]冃f(a-x)+

14、/(x

15、)

16、=g(x),所以g(x)的图像关于直线兀=彳对称，设f=

17、.f(x)

18、+

19、.f(a-兀)1的4个根为X],兀2,x3fX4(X1

20、+

21、(1-兀)2-2(1-x)I2x2-2x-1,x<-lWcx>2,°1—2x,—lWXVO=

22、兀2-2x

23、+

24、x2-1

25、=^-2x2+2x+1^0

26、围为1為2丿y三、解答题4.二次函数f(x)=ax2+bx+l(a>0)f设f(x)=x的两个实根为七，畑⑴如果方=2且旳一呦=2,求实数a的值；(2)如果兀产2“2<4,设函数/(兀)的对称轴为x=x(),求证：x()>—1.[2—[答案(l)a=七一⑵略解析⑴若b=2,则f(x)=ax2+2x+9由J(x)=xf得ax2+2x+l=x.即«x2+x+l=0,由旳―曲

27、=2,得(七―旳)2=4,/.(xj+x2)2—4xX2=4.・・・(+)2—4*=4,得2罷>0)・(2)由f(x)=xf得ax1+b

28、x+l=xf即ax2+(b—l)x+l=O.,[g(2)v0[4«+2^-1<0,设g(x)=ar2+(Z>—l)x+l,贝！即“[g(4)〉0ll6a+4〃一3>0・画出点(a,方)的平面区域知该区域内有点均满足加一方>0・b从而2a>b,/.x(}=—茲〉—1・5•已知函数/(工)=ax2—x+2a—l(a为实数)(1)若a=l,作出函数.几0的图象；⑵设心)在区间[1,2]上的最小值为g⑷，求g⑷的表达式.解析(1)当a=l时，,［x2+x+l,x<0,f(x)=x-x+l=］2作图如右：［x—兀十

29、1,x>0,(2)当xG［l,2］时，J(x)=ax2-x+2a-f若a=0,则f(x)=-x-1在区间［1,2］上是减函数，g⑷=A2)=_3・若曲,则何=心一痔r+2a-右一1,问的图象的对称轴是直线x=±・当aVO时，沧)在区间［1,2］上是减函数，g(a)=f(2)=6a-3.当0V舟VI,即a>+时，/(工)在区间［1,2］上是增函数，g(a)=f(l)=3a