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1、第四讲函数与几何变换结合的综合题(两课时〉教学目标：(一)教学知识点轴对称、中心对称、正比例函数、一次函数和二次函数的图像及性质、平行四边形的性质、菱形的性质、用待定系数法求函数解析式、等腰三角形和直角三角形的判定、圆的有关知识、解二元一次方程组、点的坐标、全等三角形的判定与性质等。(二)能力训练要求进一步强化学生的对称思想，培养学生综合运用多种知识和多种数学思想方法解决问题的能力。教学重点：几何变换在函数综合题中的应用教学难点：准确掌握儿何变换前后图形的本质特征，寻找变换前后的联系。教学过程：—、引入：从近年的屮考试题来看，函数结合儿何变
2、换的题目已成为屮考压轴题的热点题型。涉及到的几何变换常见的有轴对称(含翻折)、平移、旋转等。二、例题讲解:题型仁结合轴对称变换的函数综合题例1(2006*烟台)如图1,已知抛物线11:y=x-4的图像与x轴交于A,C两点.(1)若抛物线/2与儿关于x轴对称，求/2的解析式；⑵若点B是抛物线/1上的一动点(B不与A,C重合)，以AC为对角线,A,B,C三点为顶点的平行四边形的第4个顶点定为D,求证:点0在/2±；(3)探索：当点B分别位于儿在x轴上、下两部分的图像上时,平行四边形ABCD的而积是否存在最大值和最小值?若存在，判断它是何种特殊平
3、行四边形，并求出它的面积;若不存在，请说明理由.解析：(1)设/2的解析式为y二a(x-h)Jk,因为/2与X轴的交点为A(-2,0),C(2,0),顶点坐标是(0,-4),/1与/2关于x轴对称，所以/2过A(-2,0),C(2,0)，顶点坐标是(0,4)，可得/2的解析式为y=ax2+4,且有0=4a+4,解得a=-l.因此/2的解析式为y=-x2+4.(2)设B(X),旳)，由点B在几上，可得B(xbx〜4),又因为四边形ABCD是平行四边形,A,C关于点0对称，所以B,D关于点0对称，可得D(-x“-xf+4),将D(-xb-X12
4、+4)的坐标代入12：y二-x~+4,可知等式左边等于等式右边.所以点D在Z2上。(3)设平行四边形ABCD的面积为S,则S=2Saabc=AC・
5、yd=4
6、yi
7、,①当点B在x轴上方时,yi>0,此时S二4yi,它是关于yi的正比例函数且S随yi的增大而增大，所以S既无最大值也无最小值;②当点B在x轴下方时，-4WyK0,此时S=-4yb它是关于y】的正比例函数且S随*的增大而减小,所以当yi=-4时,S有最大值16,但它没有最小值.由①,②可知，点B(0,-4)在y轴上，它的对称点D也在y轴上.所以AC丄BD.因此平行四边形ABCD是菱
8、形，此时S城大=16.例2(2005-北京)已知：在平面直角坐标系xOy中，一次函数y=kx-4k的图象与x轴交于点A,抛物线y=cLX2+bx+c经过0、A两点。(1)试用含a的代数式表示b；(2)设抛物线的顶点为D,以D为圆心，DA为半径的圆被x轴分为劣弧和优弧两部分。若将劣弧沿x轴翻折，翻折后的劣弧落在OD内，它所在的圆恰与0D相切，求OD半径的长及抛物线的解析式；(3)设点B是满足(2)中条件的优弧上的一个动点，抛物线在x轴上方的部分上是否存在这样的点P,使得ZPOA=^OBA2若存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明3理由。解析：
9、(1)解法一：・・•一次函数y=kx-4k的图彖与x轴交于点A,・••点A的坐标为(4,0)抛物线y=c/+Z?x+c经过0、A两点，c=0,16a+4Z?=0b=-4t/解法二：•・•一次函数y=kx-^k的图象与x轴交于点A,・•・点八的坐标为(4,0)・・•抛物线y=ax2^bx+c经过0、A两点，・••抛物线的对称轴为直线^=-—=2,2a•Ib=-4a(2)解：由抛物线的对称性可知，D0=DA,・••点0在OD上，且ZD0A=ZDA0又由(1)知抛物线的解析式为尸启_4皿点D的坐标为(2,-4。)①当匚>0时，如图1,设OD被x轴
10、分得的为弧为处,翻折后所得劣弧为Q，显然所在的圆与OD关于X轴对称，设它的圆心为0,,・・・点D'与点D也关于x轴对称・・•点0在OD'上，且0D与OD'相切，・••点0为切点，・"'0丄0D・・・ZDOA=ZD'OA=45°,AAAD0为等腰直角三角形，OD=2^2・：点D的纵坐标为一2,-4a=-2»a=—,b=-4ci—-22・•・抛物线的解析式为y=^x2-2x②当a"时，同理可得：OD=2j2抛物线的解析式为尸-非+2x综上，OD半径的长为近抛物线的解析式为y=或尸-*宀2丫(3)抛物线在％轴上方的部分上存在点卩，使得,心冷,则设
11、点P的坐标为(X,y),My>0①当点P在抛物线y=jx2-2x上时(如图2)•・•点B是G»D的优弧上的一点，・・・ZOBA二丄Z4DO=45。,2ZPOA=-ZOBA=60°
