思法数学初升高衔接讲义第8讲映射与函数的概念

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1、映射与函数的概念一【学习目标】1.了解映射的概念及表示方法；2•理解函数的概念，了解简单的分段函数及应用，明确函数的三种表示方法；3.会求一些简单函数的定义域和值域.二【知识梳理】1•映射引入：复习初屮常见的对应关系（1）对于任何一个实数数轴上都有唯一的点〃和它对应；（2）对于坐标平面内任何一个点A,都有唯一的有序实数对（兀,y）和它对应；（3）对于任意一个三角形，都有唯一确定的面积和它对应；（4）某影院的某场电影的每一张电影票有唯一确定的座位与它对应；定义：一般地，设A、B是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则使对于集合A中的任意一个元素兀，在集合B

2、中都有唯一确定的元素y与之对应，那么就称对应/：A-B为从集合A到集合B的一个映射.记作“/：A-B”.点拨：（1）这两个集合有先后顺序，A到B的映射与B到A的映射是截然不同的，其中f表示具体的对应法则，可以用多种形式表述.（2）“都有唯一”什么意思？包含两层意思：一是必有一个；二是只有一个，也就是说有且只有一个的意思.（3）设/：A-B为从集合A到集合B的一个映射，若f：a-*b,则b叫做a的象；a叫做b的原象.2.函数（1）函数的概念：设A、B是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系f,使对于集合A中的任意一个数x,在集合B中都有唯一确定的数f（x）和它

3、对应，那么就称f：A->B为从集合*到集合B的一个函数.记作：y=f（x）,xGA.其中，/叫做自变量，/的取值范围A叫做函数的定义域；与/的值相对应的y值叫做函数值，函数值的集合（A%）I%eA｝叫做函数的值域.点拨：①“y二f（x）”是函数符号，可以用任意的字母表示，如“y二g（x）”；②函数符号“y二f（x）”屮的fd）表示与/对应的函数值，是一个数，而不是f乘乩③函数是特殊的映射.（2）函数的三要素：定义域、对应关系和值域.由于值域是由定义域和对应关系决定的，所以，如果两个函数的定义域和对应关系完全一致，则称这两个函数相等（或为同一函数）.即：两个函

4、数相等当且仅当它们的定义域和对应关系完全一致，而与表示自变量和函数值的字母无关.（3）函数的表示方法：解析法、列表法、图象法三种.三【典例精析】例1.下列哪些对应是从集合A到集合B的映射？（1）A=（PIP是数轴上的点｝,B二R,对应关系数轴上的点与它所代表的实数对应；（2）A=｛PP是平面直角坐标系中的点｝,B=｛（x,y）lxER,yeR｝,对应关系/：平面直角坐标系中的点与它的坐标对应；（3）A=｛三角形｝,B二｛刎兀是圆｝，对应关系/•:每一个三角形都对应它的内切圆；（4）A=｛x

5、x是新华屮学的班级｝,B=[xx是新华中学的学生｝，对应关系每一

6、个班级都对应班里的学生.思考：将（3）中的对应关系/改为：每一个圆都对应它的内接三角形；（4）中的对应关系/改为：每一个学生都对应他的班级，那么对应/：B-A是从集合B到集合A的映射吗？例2・在下图屮，图(1),(2),(3),(4)用箭头所标明的A屮元素与B屮元素的对应法则，是不是映射？是不是函数关系？开平方例3.画图表示集合A到集合B的对应(集合A,B各取4个元素)己知：(1)A={1,2,3,4},B={2,4,6,8},对应法则是“乘以2”；(2)A={x

7、x>0},B二R,对应法则是“求算术平方根”；(3)A={xx^O},B=R,对应法则是“

8、求倒数”；(4)A={Z€z

9、0°

10、x<1},对应法则是“求余弦”・例4.在下图中的映射中，A中元素60°的彖是什么？B中元素血的原彖是什么？2点拨：判定是否是映射主要看两条：一条是A集合中的元素都要有象，但B中元素未必要有原象；二条是A中元素与B中元素只能出现“一对一”或“多对一”的对应形式.例5.已知函数f(x)=Jx+3+x+2(1)求函数的定义域；2(2)求f(一3),f(—)的值；3(3)当a>0时，求f(a),f(a-1)的值.例6.设一个矩形周长为80,其中一边长为x,求它的面积关于x的函数的解析式，并写出定义域.Q

11、A_9v解：由题意知，另一•边长为~~,且边长为正数，所以0

12、^~);(3);(4)y=—x例8.某种笔记本的单价